Relation die antisymmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv ist?
Kann mir jemand eine Relation sagen, die die Eigenschaften antisymmetrisch und transitiv erfüllen, aber nicht reflexiv ist?
2 Antworten
Die Begriffe "Antisymmetrie", "Asymmetrie" und "Nichtsymmetrie" werden in der Literatur nicht ganz einheitlich definiert. Am häufigsten scheinen die Bedeutungen so verwendet zu werden, wie auch Wikipedia angibt.
Nichtsymmetrie: Es gibt wenigstens ein Paar (x,y) für das gilt
x R y ∧ ¬ y R x
Asymmetrie: Für alle Paare (x, y) gilt
x R y => ¬ y R x
Antisymmetrie: Für alle Paare (x, y) gilt
x R y ∧ y R x => x = y
Ich gehe davon aus, dass ihr diese Begriffe auch in dieser Bedeutung verwendet.
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Seit ca. Mitte des 19. Jahrhunderts wird der Allquantor üblicherweise so aufgefasst, dass sein Bereich auch leer sein kann. (Spart viel Schreibarbeit und macht viele Beweise kürzer und übersichtlicher.)
Auf die Antisymmetrie bezogen: es muss nicht unbedingt ein Paar (x, y) geben, für das gilt
x R y ∧ y R x
Das macht es möglich, dass eine antisymmetrische Relation auch irreflexiv sein kann (irreflexiv: für alle x: ¬ x R x)
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In den Wikipedia-Artikeln wird auf die Bedeutung dieser Art von Relationen für Ordnungen und Halbordnungen hingewiesen. Bei den Wikipedia-Artikeln zu Ordung und Halbordnung findest du etliche Beispiele.
Beispiel:
Die Relation "<" (kleiner als) auf der Menge der reellen Zahlen.
Überlege selbst, wieso diese Relation im die Eigenschaften hat