Frage zu Antisymmetrie und Symmetrie bei Relationen?
Meine Gedankengang ist das eine Relation entweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist, beides kann eine Relation nicht sein, aber muss zu genau einem zugehören ist das richtig ?
symmetrisch wenn beide gleich sind, also (1,1) als Beispiel
antisymmetrisch wenn ungleich, also z.B. (2,1)
Also eines von beiden ist eine Relation immer ?
Also wäre bei der Aufgabe a) richtig
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2 Antworten
Also, ich kenne das so, daß eine Relation R über einer Menge M symmetrisch ist gdw für alle x,y in M: Wenn xRy, dann yRx. Und antisymmetrisch ist eine Relation R über einer Menge M gdw für alle x,y in M: Wenn xRy und yRx, dann x = y.
Legt man diese Definitionen zugrunde, dann trifft allerdings keine der drei Aussagen zu, da es Relationen gibt, die weder symmetrisch noch antisymmetrisch sind (zum Beispiel die Relation "ist Bruder von", wenn ich mal ein nichtmathematisches Beispiel anführen darf), und da die Identitätsrelation sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch ist.
Wenn also eine der drei Aussagen zutreffen soll, dann muß die Definition von "symmetrisch" und/oder von "antisymmetrisch" eine andere sein.
Übung für dich: welche der beiden Eigenschaften erfüllt die Relation:
{(1,2),(2,1),(1,3)}
(1,2),(2,1) ist symmetrisch, (1,3) erfüllt nichts von beiden, also ist c) auch falsch xd, weil c sagt mindestens eine eigenschaft muss erfüllt werden, diese erfüllt garkeine...
Also es ist korrekt dass es nichts von beidem ist, deine Begründung ist aber inkorrekt. Lies am besten meinen Kommentar unter der Antwort von DerRoll, dort steht eine Korrekte Begründung.
Bitte schreibe zunächst mal die Definition von "Symmetrisch" und "Antisymmetrisch" hin. "Antisymmetisch" hat nichts mit ungleich zu tun.
Hinweis: Die richtige Antwort ist b). Warum? Bedenke das du Beispiele und Gegenbeispiele liefern mußt.
c) ist richtig, hab die Definition von symmetrisch und antisym. nachgeschaut, eine Relation kann beides sein, sowohl symmetrisch als auch antisym.
Yup, sorry. Ich hätte meinem eigenen Rat folgen sollen :-)
{(1,2),(2,1),(1,3)} ist doch weder noch oder nicht?
Da (1,2) und (2,1) drin sind, aber 1≠2, somit ist die Relation nicht asymmetrisch (xRy und yRx => x=y)
Da (1,3) drin ist, und (3,1) ist die Menge nicht symmetrisch (xRy => yRx)
{(1,1)} ist sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch.
Somit kann keine der drei Aussagen korrekt sein oder nicht?
habs gelöst hab die Definitionen nochmal nachgeforscht c) ist richtig eine Relation kann beides sein. Um Symmetrie zu gewährleisten muss zur Menge eine "Gegenmenge" existieren. ungefähr so R= {(0,1), (1,0)}
Beides wäre z.B. (0,0) da keine "Gegenmenge" bestehen muss.