Ist Relation reflexiv, wenn sie symmetrisch und transitiv ist?
Hallo,
wir sollen ein Gegenbeispiel für folgende Aussage Aussage finden:
"Wenn eine Relation symmetrisch und transitiv ist, dann ist sie auch reflexiv."
Könnte man folgendes Beispiel verwenden?
M={1;2;3)
mit der Relation in MxM:
R={1;1),(2;2),(1;2),(2;1),(2;3),(3;2),(1;3),(3;1)}
Die Relation müsste symmetrisch sein, da immer wenn a R b auch b R a.
Und transitiv auch, da immer wenn a R b und b R c auch a R c, z.b bei (1;2), (2;3), (1;3).
Aber reflexiv nicht, da 3 nicht in Relation zu sich selbst steht.
Ist das richtig?
1 Antwort
Nein, die Relation wäre dann nicht transitiv:
3 R 1 und 1 R 3 aber nicht 3 R 3
Wenn a R b gilt, dann gilt wegen Symmetrie auch b R a und weiter wegen Transitivität auch a R a. Das heißt, wenn Reflexivität nicht gelten soll, darf es für ein a kein b mit a R b oder b R a geben. Mindestens ein Element darf also bei R nicht vorkommen.
Das wäre transitiv, denn für a R b und b R c gibt es nur die Möglichkeiten a = b = c = 1 sowie a = b = c = 2, für die auch a R c gilt.
Und da nicht 3 R 3, ist die Relation nicht reflexiv.
Eine anderes Gegenbeispiel wäre M = {1} und R = ∅.
Verstehe, reicht es dann auch theoretisch auch zu schreiben: R={(1;1),(2;2)}?
Oder wäre das nicht transitiv?