Äquivalenzklassen denkfehler?
Ich glaube ich habe was Äquivalenzklassen angeht einen Denkfehler, im Bild sieht man was die Äquivalenzklasse sein soll, bei dem Wort Äquivalenz kommen mir allerdings sofort Äquivalenzrelationen in den sinn welche Relationen sind die gleichzeitig reflexiv, symmetrisch und transitiv sind. Hier wird aber gesagt dass die Äquivalenzklasse von X bedeutet dass y in X liegt sodass y mit x in relation steht. Das heißt rein theoretisch schließt man nicht aus dass die Relation zb asymmetrisch sein darf, zudem frage ich mich warum y in X und nicht x in X deklariert wird? Ich bin leider etwas unbegabt in Mathe also verzeiht bitte wenn ich klinge wie der letzte Vollhorst
4 Antworten
Was da steht ist ja eine Beschreibung von Mengen. Ich will wissen, was die Äquivalenzklasse ist, die durch das Element x bestimmt wird - und das ist die Menge aller Elemente aus der Grundmenge, die zu x äquivalent ist. Da das eine Äquivalenzklasse ist, enthält diese Menge selbstverständlich auch x, aber eben u. U. auch noch eine ganze Menge anderer Elemente.
Also z. B.: Zwei Elemente aus N heißen beispielsweise äquivalent, wenn sie bzgl. der Divsion mit 10 den gleichen Rest haben.
Welche Äquivalenzklasse ist dann
[13]
?
13 hat den Rest 3 bezüglich der Division mit 10, [13] enthält also alle Elemente aus N, die ebenfalls den Rest 3 haben, nämlich
[13] = {3,13,23,33,...}
Links habe ich das BESTIMMTE x, rechts habe ich das unbestimmte y, ich wähle also einfach ein y aus X, prüfe, ob es die Bedingung x R y erfüllt, wenn ja, ist es in [x], wenn nein, ist es nicht in [x]. x selber erfüllt xRy (bei einer Äquivalenzrelation), darum kann ich y=x wählen. Ich kann mich aber nicht auf x beschränken, darum brauche ich eine neue Variable.
Man kann diese Klassen prinzipiell auch für nicht-Äquivalenzrelationen definieren, aber dann sind es keine Äquivalenzklassen.
Für die Definition ist es erstmal egal, um welche Relation es sich handelt. Erst wenn man Aussagen über die Struktur der Klassen treffen möchte ist es relevant, ob es eine Äquivalenzrelation ist.
Hier wird aber gesagt dass die Äquivalenzklasse von X bedeutet dass y in X liegt sodass y mit x in relation steht. Das heißt rein theoretisch schließt man nicht aus dass die Relation zb asymmetrisch sein darf
Wenn von Äquivalenzklassen geredet wird, dann wird implizit angenommen, dass ~ hier eine Äquivalenzrelation ist. Prinzipiell ist die Definition auch für beliebige Relationen möglich, aber dann würde man [x] nicht mehr Äquivalenzklasse nennen.
zudem frage ich mich warum y in X und nicht x in X deklariert wird?
Machen wir mal ein ganz konkretes, nicht besonders mathematisches Beispiel. Wir haben eine Menge M von Menschen, sagen wir:
M ={Anna, Bernd, Claus, Dennis, Emily}.
Die haben alle für Freitagabend Pläne:
- Anna und Bernd gehen zusammen ins Kino
- Claus und Dennis feiern zusammen in der Disco
- Emily geht alleine ins Fitness-Studio
Wir können jetzt auf M eine Äquivalenzrelation definieren durch:
x ~ y genau dann wenn x am Freitagabend gemeinsam mit y unterwegs ist.
D.h. wir haben z.B. Anna ~ Bernd, aber nicht Claus ~ Emily.
Du kannst zur Übung gerne nachprüfen, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.
Schauen wir uns nun beispielsweise die Äquivalenzklasse von Anna an:
[Anna] = { y ∈ M | Anna ~ y}.
Das ist die Menge aller Menschen (aus M), die Freitagabend gemeinsam mit Anna unterwegs sind. Das sind gerade Anna und Bernd:
[Anna] = {Anna, Bernd}.
Analog berechnen wir:
- [Bernd] = {Anna, Bernd},
- [Claus] = [Dennis] = {Claus, Dennis},
- [Emily] = {Emily}.
D.h. es gibt eigentlich nur 3 unterschiedliche Äquivalenzklassen, nämlich [Anna], [Claus] und [Emily]. Unsere Äquivalenzrelation hat dadurch unsere ursprüngliche Menge M auf relativ natürliche Weise in 3 paarweise disjunkte Gruppen aufgeteilt.
Das gibt uns den Vorteil, dass wir nun über [Anna] als "Anna's Gruppe" reden können, statt über "Anna und Bernd". Das ist hilfreich, wenn wir Aussagen treffen wollen, die sich nicht für die konkreten Menschen interessieren sondern jeweils für ganze Gruppen zutreffend sind.
Bei mathematischeren Beispielen kannst du genauso denken: [x] ist einfach die Gruppe (im nicht algebraischen Sinn), zu der x gehört. Und jede Äquivalenzrelation garantiert, dass diese Gruppen paarweise disjunkt sind.
Deine Frage ist durchaus sinnvoll. Eine Äquivalenzklasse kann - wie von Dir beschrieben - auch sehr allgemein durch eine Relation definiert werden. Man würde dann aber eher von einer Klasse denn einer Äquivalenzklasse sprechen. In der Regel wählt man in der Tat als Relation eine Äquivalenzrelation, da z.B. bereits bei Fehlen der Reflexivität die Notation sehr unintuitiv wird: wenn nicht xRx für ein x € X, dann ist x nicht Repräsentant der durch x definierten Äquivalenzklasse [x].