Aussage widerlegen oder beweisen Mengenlehre?

Hallo Leute,

Irgendwie bin ich überfordert. Ich soll beweisen beziehungsweise widerlegen, ob die folgende Aussage wahr oder richtig ist:

P(A) ∩ P(B) = P(A ∪ B)

Ich habe das folgendermaßen gemacht:

X ∈ P(A) ∪ P(B)

⇔ (X ⊆ A) ∨ (X ⊆ B)

⇔ X ⊆ A ∪ B

⇔ X ∈ P(A ∪ B)

Aber nach einiger Recherche stellt sich heraus, dass die Aussage falsch ist. Aber wo ist dann der Fehler in meinem Beweis?

Answer 1

[Jangler13]

1. Fehler: in der ersten Zeile soll ein Schnitt stehen, keine Vereinigung.

2. Fehler: die 2. Und 3. Zeile sind nicht Äquivalent.

Sei A = {1,2}, B = {3,4} und X = {2,3}

Dann ist X eine Teilmenge von A vereinigt B, aber X ist weder eine Teilmenge von A noch von B.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master