Wie von der expliziten Form einer geraden in die implizite?

Hey, könntet ihr mir vielleicht allgemein erklären, wie man von der explizite Darstellung der geraden PQ in die implizite kommt?

explizite: g: (a,b) + r • (c,d)
implizite: g: ax+by= c

und vielleicht anschließend an einem Beispiel ?
g: (1,2) + r • (3,4)

Answer 1

[ralphdieter]

Die explizite Form kannst Du als zwei Gleichungen betrachten:

1. x = a + rc
2. y = b + rd

- Wenn c=d=0, hast Du keine Gerade, sondern nur einen Punkt (a, b).

- Wenn c=0 (und d≠0), reicht Gleichung 1. Entsprechendes für d=0 (und c≠0). Die andere Gleichung sagt dann nur „nimm dir irgendein r, dann bekommst Du jedes beliebige y (bzw. x)“.

- Bei c≠0 und d≠0 bekommst Du die implizite Gleichung via d·(1.) − c·(2.):

• dx − cy = da − cb

(drc−crd hebt sich raus).

Für Dein Beispiel ergibt sich 4x−3y=4·1−3·2=−2.

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Wenn Du die implizite Gleichung genauer anschaust, siehst Du den zu (c, d) senkrechten Vektor (d, −c) und den Startpunkt (a, b). Und die implizite Gleichung sagt schlicht:

• (d, −c)(x, y) = (d, −c)(a, b).

oder in Vektorschreibweise kurz und knackig:

• n·x=n·p