Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?
Hallo, ich komme leider bei folgender Aufgabe nicht ganz weiter: Ermittle die Anzahl der Nullstellen von f in Abhängigkeit von t. Gegeben: f(x)=tx^3-3x^2+9x.
Ich habe zuerst die Gleichung 0 gleich gesetzt um die Nullstellen zu ermitteln...
0=tx^3-3x^2+9x.
0=x(tx^2-3x+9)
x1=0
x2=tx^2-3x+9
Aber wie kann ich jetzt nur weiter rechnen...? Mein Lehrer hatte den Lösungsweg zwar bereits an die Tafel geschrieben, aber ich konnte es in der Stunde leider nicht ganz nachvollziehen...
4 Antworten
Weitere Nullstellen für:
tx^2-3x+9 = 0
durch t teilen:
x^2 - 3/t x + 9/t = 0
pq-Formel:
p = -3/t
q = 9/t
x1,2 = -p/2 ± √ (p/2)^2 - q
Uns interessiert nur die Wurzel, denn die entscheidet alleine über die Anzahl der Nullstellen
Fall 1: Ausdruck unter der Wurzel = 0, dann genau 1 Nullstelle:
(p/2)^2 - q = (-3/2t)^2 - 9/t = 0
9/4t^2 - 9/t = 0 ∣ *t^2
9/4 - 9t = 0
9t = 9/4
t = 1/4
Fall 2: Ausdruck ist positiv, dann zwei Nullstellen:
(-3/2t)^2 - 9/t > 0
9/4t^2 - 9/t > 0
mal t^2. Da t^2 immer positiv ist, dreht sich das Ungleichzeichen nicht um:
9/4 - 9t > 0
9/4 > 9t
1/4 > t
t < 1/4
Fall 3: Ausdruck wird negative, dann gibt es keine weitere Nullstellem weil die Wurzel aus negativen Zahlen nicht gezogen werden kann.
Das muss logischerweise das Gegenteil von Fall 2) sein, daher:
keine weitere Nullstelle für t > 1/4
Nun verwendest du die abc- oder Mitternachtsformel um die Nullstellen der quadratischen Gleichung zu finden. Übrigens ist x2 = tx^2 - x + 9 falsch, statt x2 muss da 0 stehen. x2 (und x3) findet man durch das Lösen der Gleichung.
0=tx^2-3x+9
Jetzt auf die Normalform bringen und die PQ-Formel anwenden. Es kann 0, 1 oder 2 Lösungen geben, je nachdem, welcher Wert unter der Wurzel steht ...
Teile durch t und wende pq an. Wenn das Ergebnis unter der Wurzel positiv ist, hast du 3 NS, bei 0 hast du 2 und bei negativen Radikanden bleibt x=0 die einzige reelle Nullstelle.