Definiton der Beschränktheit von Folgen?

Wir haben definiert was beschränkt heißt, aber was ist dann nach unten bzw. nach oben Beschränkt? Diese Begriffe werden beim Satz (Monotone Konvergenz) genutzt, jedoch wurde da vorher nicht unterschieden?

Wie kann etwas nach unten beschränkt sein? Beschränktheit heißt ja immer, dass ich ein M habe was größer sein muss als alle Glieder, zumindest bei der Definition von Folgen, wie trifft das hier nun zu? Was unterscheidet nach unten beschränkt von nach oben beschränkt, bei Folgen?

Answer 1

[mihisu]

Nach unten beschränkt heißt, dass es (mindestens) eine untere Grenze gibt.
Nach oben beschränkt heißt, dass es (mindestens) eine obere Grenze gibt.

Bemerkung: Eine reellwertige Folge ist genau dann beschränkt, wenn sie nach oben beschränkt und nach unten beschränkt ist.

Beispiel:

• Die durch aₙ = (-1)ⁿ ⋅ n gegebene Folge ist unbeschränkt.
• Die durch aₙ = (n-5)² - 3 ist nach unten beschränkt. Man kann beispielsweise m = -3 als eine untere Grenze finden. Aber auch jede Zahl kleiner als -3 ist eine untere Grenze. (Die Folge ist jedoch nicht beschränkt, da sie nicht nach oben beschränkt ist.)
• Die durch aₙ = 3 - (n-5)² ist nach oben beschränkt. Man kann beispielsweise M = 3 als eine obere Grenze finden. Aber auch jede Zahl größer als 3 ist eine obere Grenze. (Die Folge ist jedoch nicht beschränkt, da sie nicht nach unten beschränkt ist.)
• Die durch aₙ = (-1)ⁿ ⋅ 1/n ist beschränkt. Die Folge ist nach oben beschränkt, da man beispielsweise M = 1 als eine obere Grenze finden kann. Die Folge ist nach unten unbeschränkt, da man beispielsweise m = 1 als eine untere Grenze finden kann.

Answer 2

[Dezin]

Die oben stehende Definition ist für die allgemeine Beschränktheit, also nach unten UND nach oben beschränkt, denn hier ist der BETRAG aller Folgenglieder kleiner als (oder gleich) ein bestimmtes M. Die Folgenglieder können also weder beliebig groß noch beliebig klein werden, da sonst der Betrag größer als M ist.

Nach oben beschränkt heißt, dass die Folgenglieder nicht beliebig groß werden dürfen, wohl aber beliebig klein. Das könnte man mit a_n <= M für alle n ausdrücken (also einfach ohne den Betrag).

Nach unten beschränkt heißt, dass die Folgenglieder nicht beliebig klein werden dürfen, wohl aber beliebig groß. Das könnte man mit a_n >= M für alle n ausdrücken.

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – pädagogischer Assistent für Mathematik

Comments

[oij83]

Danke, genau dann muss man das umdrehen mit M, aber das steht halt nicht in der Definiton der Beschränktheit, da steht, dass es immer größer sei, also das M für Beschränktheit

[Dezin]

@oij83

Ja das stimmt, da fehlt die Abgrenzung von Beschränktheit nach oben und nach unten. Die Definition behandelt nur die Beschränktheit nach oben UND unten (durch den Betrag)

Answer 3

[Piddle]

Die Folge 1, 2, 3, 4, ... ist nach unten beschränkt (durch 1, aber auch durch jede kleinere Zahl, nur ist 1 die kleinste untere Schranke), aber nicht nach oben beschränkt.

Die Folge 0, -1, -2, -3, ... ist nach oben beschränkt (durch 0, aber auch durch jede größere Zahl, nur ist 0 die kleinste obere Schranke), aber nicht nach unten beschränkt.

Eine untere bzw. obere Schranke muss aber nicht unbedingt als Folgenwert vorkommen.