Folge umschreiben auf Formel?
Wie kann man so eine Folge umschreiben, sodass ich dann Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit bestimmen kann. Das sind ja glaub ich nur die Folgenglieder. Muss ich dann wenn ich auf eine Formel kommen würde die dann auch mittels Induktion beweisen?
2 Antworten
Hast du dir den Hinweis durch gelesen? Die Folge ist beschränkt durch M=1. Das siehst du wenn du alle Summenglieder durch 1/(n+1) nach oben abschätzt. Dann kannst du leicht die Summe bilden, Ergebnis ist n/(n+1) und das ist < 1 für alle n.
Die Monotonie kannst du über vollständige Induktion beweisen.
Damit gilt das Monotonieprinzip: Eine monotone Folge ist genau dann konvergent wenn sie beschränkt ist.
Jup, man kann gleiche Summenglieder von x_n und x_(n+1) untereinander schreiben und die Differenz bilden. Übrig bleibt von x_n das erste Glied 1/(n+1) und von x_(n+1) die zwei letzten 1/(2n+1) und 1/(2n+2). Dann sieht man 1/(2n+1) + 1/(2n+2) > 1/(2n+2) + 1/(2n+2) = 2/(2n+2) = 1/(n+1), also monoton wachsend.
Jetzt mußt du mir nur noch zeigen was bei meinem Beweis dass die Reihe beschränkt ist falsch ist. Sonst haben wir unterschiedliche Ergebnisse :-)
Simpel in Deinem Fall: Es ist die Reihe (die Summe) der Glieder von n+1 bis 2n, also insgesamt 2n - (n+1) + 1 Glieder, also 2n - n Glieder = n Glieder
Für die Konvergenz und Monotonie und Beschränktheit gilt: Ist
beschränkt, dann ist es auch die Reihe, welche erst mit n+1 beginnt. Monotonie ist einfach zu beweisen, indem Du die einzelnen Glieder zu einander in Bezug setzt
Beziehungsweise richtiger: Du ziehst die Reihe für n von der Reihe von n+1 ab und hast immer das Differenzglied 1/(1+i) > 0.
weiter die Beschränktheit: Da permanent addiert wird, kann es nur steigen, die unterste Grenze ist damit der erste Wert für n=1 oder n=0, womit Ihr anfängt (leicht schwierig wird es wenn n negativ sein kann). Die obere Grenze ergibt sich aus
Da die harmonische Reihe nicht konvergiert und daher nach oben beschränkt ist, ist auch die Reihe ab n+1 nicht beschränkt und konvergiert nicht. Denn es gibt kein Delta < 1, für dass das Wurzelkriterium oder das Quotientenkriterium erfüllt ist
Habe das Beispiel in meinem Heuser gefunden. In meiner 3. Auflage (mein Gott bin ich alt!) Aufgabe 5 zu Kap. 23. Die Folge ist monoton und x_n < n/(n+1) < 1, d.h. Konvergent.
Das ist richtig!
Sie konvergiert, da die Reihe - anders als die harmonische - mit n anfängt, also eine Teilfolge der harmonischen ist, und das erste Element der Reihe wird auch kleiner und damit unendlich klein.
Mein Fehler, die Behauptung, man könne aus der harmonischen Reihe auf eine Reihe, die mit n anfängt, schlussfolgern war falsch!!!
Das schöne an höherer Mathematik ist, dass sie zum Diskutieren einläd. Über die Diskussion lernt man mehr als in allen Vorlesungen zusammen :-). Und ich bin froh dass ich mich noch an so viel aus dem Studium erinnern kann und noch gut mithalten kann.
Uni oder FH? Zu "meiner" Zeit hat man nämlich in Info die selbe Vorlesung wie die Mathematiker gehört :-). Viel Erfolg jedenfalls bei der Klausur.
Ups, Monotonie ist nicht so trivial, da muß ich noch mal in den Denkteich. Induktion macht denke ich keinen Sinn :-)