Zeigen, dass eine rekursive Folge in einem bestimmten Intervall liegt

Hey Leute, ich hab da mal eine Frage, welche ich demnächst in meiner Mathe Klausur beantworten werden muss. Ich habe eine rekursiv definierte Folge: a_0 =1; a_n+1 = (1+a_n^2) / (2+a_n) Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass jedes Folgeglied in dem Intervall (0,5 ; 1] liegt.

Meine Vorüberlegungen zu dieser Aufgabe: Induktionsanfang: Ich habe hier einfach a0 in die Folge eingesetzt, um zu beweisen, dass es für diesen Wert gilt. Somit: a1 = 2/3 E (0,5 ; 1] Induktionsannahme: Behauptung wahr, für beliebiges, aber festes n E N0. (wurde uns so in der VL beigebracht.) Induktionsschluss: n -> n+1 Somit: (1+a_n+1^2) / (2+a_n+1) = (1+a_n^2) / (2+a_n) Ab diesem Zeitpunkt weiß ich nicht, wie ich weitermachen soll, um eben zu zeigen, dass jedes Folgeglied in dem oben gegenbenen Intervall liegt. Ich hoffe Ihr konnt mir weiterhelfen.

Vielen Dank im Voraus

3 Antworten

stekum

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

21.01.2015, 20:53

Abkürzung: a_ n = x und a_(n+1) = y. Zu zeigen ist: y = (x² + 1) / (x + 2) > 0,5 , wenn x > 0,5.

(x² + 1) / (x + 2) > 0,5 ↔ 2x² + 2 > x + 2 ↔ 2x² – x > 0 ↔ x • (2x – 1) > 0 . Richtig, denn beide Faktoren sind positiv.

Weiter ist zu zeigen, dass y < 1, wenn 0,5 < x < 1 :

(x² + 1) / (x + 2) < 1 ↔ x² + 1 < x + 2 ↔ x² – x – 1 < 0 ↔ x (x – 1) < 1 . Da x > 0 und x – 1 < 0 ...

Roach5

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Mathematik

21.01.2015, 15:53

Zeige, dass a (streng) monoton fallend ist. Das sollte einfach sein, da du durch a_0 = 1 davon ausgehen kannst, dass a(n) <= 1 für irgendein n, dann a(n)^2 <= a(n), insbesondere 1+a(n)^2 < 2+a(n), also a(n+1) < a(n). Also ist a streng monoton fallend, sobald a(i) für irgendein i <= 1 ist, da dies für a(0) gilt, ist a streng monoton fallend.
Zeige, dass a durch 0.5 begrenzt ist. Das machst du genauso, indem du durch Induktion zeigst, dass a(n) > 0.5 -> a(n+1) = 0.5. Das überlasse ich dir als Übung. Tip: Betrachte den Quotienten der Abstände von 0.5 als Folge, also b(n) := (a(n+1) - 0.5)/(a(n) - 0.5). Zeige, dass b(n) > 0, dann bist du fertig.

thisisntapizza

21.01.2015, 14:21

Eventuell Widerspruchsbeweis. Versuche a_n liegt im Intervall und a_(n+1) liegt nicht im Intervall zum Widerspruch zu führen.

Ähnliche Fragen

Rekursive Folge: Startwert?

Guten Abend,

für welchen Startwert a_0 ist die Folge

a_(n+1) = ((a_n)^2 + 3)/4

konvergent?

...zur Frage

Konvergent einer rekursiv definierten Folge?

Hallo Leute,

heute beschäftige ich mich mit der rekursiv definierten Folge: a0 = 1; an+1 = 1/(1+an). Ich untersuche die Konvergenz dieser Folge und wollte dies mittels Beweis der Beschränktheit und Monotonie machen. Mir ist bereits aufgefallen, dass diese Folge sich in zwei Teilfolgen aufgliedert, eine für gerade und eine für ungerade Folgeglieder. Ich habe auch bereits herausgefunden, dass die Teilfolge für gerade Folgeglieder monoton fallend und die für ungerade monoton wachsend sein müsste, versuche ich jedoch dies zu beweisen, komme ich auf das genaue Gegenteil, sprich, dass gerade monoton wachsen und ungerade monoton fallend sein müsste, was aber defintiv nicht der Fall ist, da ich mir die Folge bereits angesehen habe. Den Beweis der Beschränkheit habe ich übrigens schon hinbekommen, mir geht es nur um die Monotonie.

Danke und frohe Weihnachten allen. :)

...zur Frage

Offenheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit von Mengen in IR²?

Also so auf den ersten Blick würde ich sagen:

A ist offen und dementsprechend nicht kompakt

B ist abgeschlossen und kompakt

bei C bin ich mir noch nicht ganz sicher

D ist abgeschlossen, bei Kompaktheit bin ich mir nicht sicher.

Ist automatisch jede Menge, die abgeschlossen ist, kompakt?? Jetzt habe ich ein kleines Problem, diese Behauptungen auch zu zeigen.

Bei der a) dachte ich vielleicht, ich nehme einfach eine Folge die vollständig in A liegt aber gegen zb 0,0 konvergiert, was ja nicht Element aus (0,1)² ist. Aber wie genau kann ich eine solche Folge konstruieren? In 1d hätte ich einfach gesagt: Sei an = 1/(n+1), dann ist an€(0,1), aber der Grenzwert wäre 0, also außerhalb von (0,1). Jetzt würde ich das ganze gerne auf IR² übertragen, aber wie genau mache ich das? Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das aufschreiben soll, kann mir da jemand ein kurzes Beispiel geben?

Bei der b) hätte ich einfach das Komplement von B (IR²\B) genommen und gezeigt, dass das offen ist, also analog zu a) eine Folge konstruiert die gegen etwas konvergiert, was nicht im Komplement liegt. Folglich muss B dann geschlossen sein, also alle Folgen in B konvergieren auch gegen etwas in B (sofern sie konvergent sind). Das ist einfach die Definition von Folgenkompaktheit, also ist B kompakt.

Wie gesagt, bei der c) muss ich noch nachdenken.

Bei der d) kann man das ganze doch genauso wie bei der b) machen? Hier hat mir aber ein Freund erzählt, dass das nicht kompakt sei... Ich weiss nur leider nicht wieso. Kann mir da jemand weiterhelfen?

...zur Frage

Folgeglied Mathematik (1/2 ; 1/3 ;1/4; 1/5 ;..?

Ich komme leider nicht auf die rekursive Folge dieses Folgenglieds nur auf die explizite:( Könnte mir jemand helfen ? Vielen Dank im Voraus

...zur Frage

kann mir wer bei dieser Uni Mathe Aufgabe helfen über Folgen, rekursive Folgen?

Sie lautet, wie folgt:

Gesucht ist eine Folge. Sie beginnt mit einer 3. Jedes Element der Folge ist um 1 größer als die Hälfte des nächsten Elements. Wie lautet das sechste Element? Stellen Sie eine allgemeine, rekursive Vorschrift für die Folge auf. Bilden Sie eine (sehr) ähnliche Vorschrift für die Abzahlung eines Kredits in Raten.

Aufgestellt hatte ich diese Rekursive Bildungsvorschrift:

an = an+1 / 2 + 1

Also jedes folgende Element a_(n+1) ist gleich der Hälfte des vorherigen Elements a_n plus 1

Wenn ich dann für an gleich 3 einsetze und dann nach „an+1“ umstelle komme ich auf 4 und dann im nächsten Schritt auf 6, 10, 18, 34, wenn ich jedoch die selbe Gleichung bei Chat gpt eingebe rechnet er mir das hier aus:

a_1 = 3

a_2 = (1/2) * a_1 + 1 = (1/2) * 3 + 1 = 1.5 + 1 = 2.5

a_3 = (1/2) * a_2 + 1 = (1/2) * 2.5 + 1 = 1.25 + 1 = 2.25

a_4 = (1/2) * a_3 + 1 = (1/2) * 2.25 + 1 = 1.125 + 1 = 2.125

a_5 = (1/2) * a_4 + 1 = (1/2) * 2.125 + 1 = 1.0625 + 1 = 2.0625

a_6 = (1/2) * a_5 + 1 = (1/2) * 2.0625 + 1 = 1.03125 + 1 = 2.03125

Das sechste Element der Folge ist also 2.03125.

Was ist nun richtig?

...zur Frage

Wie kann ich zeigen, dass das Intervall (0,1) offen ist?

Also erstmal kann man schnell zeigen, dass dieses Intervall nicht abgeschlossen ist, weil ja zb 1/(n+1) in (0,1) drinne liegt, aber der Grenzwert 0 ist und nicht drinne liegt, also kann (0,1) schonmal nicht geschlossen sein. Das heißt aber noch lange nicht, dass es auch offen ist, dafür müsste man nachweisen, dass es für ein beliebiges x€(0,1) immer ein ε>0 gibt, sodass die ε-Umgebung um x vollständig in (0,1) liegt. Wie kann ich das machen? Habe wirklich gar keinen Plan ;(

...zur Frage

Wie beweise ich Abgeschlossenheit von Mengen?

Hey, es wäre nett wenn mir jemand dabei helfen kann zu zeigen, ob eine Menge abgeschlossen ist oder nicht.

Wir haben Abgeschlossenheit wie folgt definiert:
Eine Teilmenge A von R bzw C heißt abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge von Punkten a_n∈A ebenfalls in A liegt oder A=∅ gilt.

Also wenn etwas nicht abgeschlossen ist reicht es einfach eine konvergente Teilfolge zu suchen, die gegen einen Wert außerhalb von A konvergiert, oder?
Wir haben jetzt folgende Menge gegeben:

meine Vermutung ist, dass diese Menge nicht abgeschlossen ist, aber wie zeige ich das genau?
Annehmen, dass es eine konvergente Teilfolge a_n gibt, mit 6>=|a_n| f.a. n∈N und die gegen a konvergiert mit a∈{z∈C:|z|<6}. Wie führe ich das dann zum Widerspruch?

...zur Frage

Rekursive explizite Darstellung einer Folge, benötige Hilfe?

Hallo,
Wie kann ich von einer Rekursiven Darstellung einer Folge die explizite finden?

Zb bei a1 =0 ; a n+1= an+1 (das erste n+1 steht unter der Zahl) (das zweite n, nach a, ebenfalls)

die explizite Darstellung wäre jzt hier an= n-1

nur wie komme ich darauf ich meine bei schwierigeren Aufgaben?

Wie kann ich zb bei dieser rekursiven Darstellung eine explizite finden?

1) a1=7; an+1=an
2) a1=0,5; an+1=(-2)*an

Danke im Voraus und hoffe ihr habt meine Frage verstanden.

...zur Frage

Warum konvergiert jede Cauchy-Folge in C bzw. R?

Hallo,

Ich kann den Schritt ab "Es gilt nun zu zeigen, dass die Ausgangsfolge auch gegen a konvergiert" nicht wirklich verstehen. Die letzte Ungleichung ist für mich sehr unverständlich. Den einen Teil mit |a-a_(n_k)| verstehe ich noch, aber warum |a_(n_k)-a_n|? Was beschreibt das überhaupt mathematisch? Den Abstand einer Teilfolge zur Ausgangsfolge?

...zur Frage

Ungleichungen mit Folgen lösen?

Hallo liebe Community,

ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme da nicht so recht weiter. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Gilt für alle n ≥ N die Ungleichung |a_n − 1/3 | < 0, 01?

Gegeben ist noch:

Zuvor hatte man noch folgende Aufgabe:

Für welche N ∈ |N gilt das erste Mal |aN − 1/3| < 0,01?

Da habe ich N = 19 raus.

Ich habe mir jetzt einfach intuitiv gedacht, dass die Aussage korrekt ist. Aber wie würde man das beweisen? Mein Ansatz wäre es jetzt gewesen erstmal zu zeigen, dass die gegebene Folge gegen 1/3 konvergiert. Das habe ich wie folgt gemacht:

Sei Epsilon > 0 beliebig.

|a_n - 1/3| = |(n+4) / (3n+10) - 1/3| =
|2 / (3*3n+10)| = |2 / (9n+10)|

Okay ich habe erstmal a_n - 1/3 vereinfacht. Dann wollen wir ja, dass |a_n - 1/3| kleiner ist als Epsilon, also

    2 / (9n+10) < Epsilon        | * (9n+10)
<-> 2 < Epsilon * (9n+10)        |Klammern auflösen
<-> 2 < 9*n*Epsilon + 10*Epsilon |-10*Epsilon
<-> 2-10*Epsilon < 9*n*Epsilon   |:9*Epsilon
<-> (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) < n

Das heißt ja jetzt, dass sobald n > (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon), | a_n - 1/3| < Epsilon gilt. Jetzt muss ich ein N finden für das gilt, dass n>=N mit n > (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon). Und an dieser Stelle bin ich verwirrt. Im Skript wird das so gemacht, dass man nun einfach an das (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) eine 1 addiert und das dann auf die nächste natürliche Zahl aufrundet. Und das ist dann unser N. Aber es muss doch gelten N <= n und das ist dann doch nicht erfüllt, oder? Müsste man nicht eigentlich -1 dranhängen und abrunden?

Ich habe dann erstmal einfach weitergemacht mit dem N (also (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1 aufgerundet zur nächsten natürlichen Zahl). Und hier fängt dann ja erst der richtige Beweis an:

Sei N die Zahl (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1 aufgerundet zur nächsten natürlichen Zahl. Sei Epsilon > 0 beliebig.

N >= (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1. Sei n >= N beliebig. Dann ist n >= N >= (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1, also n > (2 - 10*Epsilon)/(9*Epsilon).

Hier bin ich wieder verwirrt, ich habe das so gemacht wie im Skript aber ist hier nicht auch ein Fehler?

    n > (2-10Epsilon) / 9Epsilon | *9Epsilon
<-> n*9Epsilon > 2-10Epsilon     | +10Epsilon
<-> n*9Epsilon*10Epsilon > 2     | Epsilon ausklammern
<-> (9n+10)Epsilon > 2           | :(9n+10)
<-> Epsilon > 2/(9n+10)

So jetzt schaue ich mir |a_n - 1/3| an.

|a_n - 1/3| = |(n+4) / (3n+10) - 1/3| = |2 / (3*(3n+10))| = |2 / (9n + 30)|

daraus folgt:

|a_n - 1/3| < Epsiolon. Also ich glaube hier sind ein paar Sachen schief gelaufen. Auch wenn es eigentlich stimmen sollte, dass |a_n - 1/3| < Epsilon gilt.

So damit habe ich gezeigt, dass der Grenzwert 1/3 ist. Aus der vorherigen Aufgabe weiß ich, dass das kleinstmögliche n 19 ist. Das habe ich dann eingesetzt und gezeigt, dass |a_19 - 1/3| < 0,01 ist. Weil es gegen 1/3 konvergiert, wird der Abstand dann nur geringer habe ich mir gedacht. Wo sind hier meine Fehler? Was könnte ich besser machen?

...zur Frage

Beweis per Induktion mit Fibonaccifolge?

Guten Abend:)

meine Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Die Folge der Fibonacci-Zahlen wird rekursiv definiert durch 

a) Beweisen Sie durch vollständige Induktion:

Was habe ich bisher gemacht?

Zuerst einmal finde ich es komisch, wie definiert ist. Ist es nicht normalerweise durch ein "plus" statt ein "minus" definiert? Ansonsten macht der Induktionsanfang auch keinen Sinn: Da habe ich Wenn ich aber n=3 in die Formel einsetze, dann erhalte ich den Wert 2. Daher bin ich der Meinung, dass dort ein "plus" stehen muss.
Ich habe den Induktionsanfang mit "plus" statt "minus" für n=3 gemacht und den Wert 2 erhalten. Nun möchte ich ja in meiner Induktionsbehauptung sagen, dass es auch, wenn es für ein beliebiges n gilt, auch für n+1 gilt. Ich habe also und möchte zeigen, dass gilt (durch Umformen). Leider komme ich nicht auf die nötigen Umformungsschritte. Hat da jemand einen Tipp? Ich würde mich da sehr drüber freuen.

Ich wünsche euch einen guten Rutsch!

...zur Frage

Habe eine Aufgabe zur Vollständigen Induktion in Mathe bekommen, kann sie vielleicht jemand lösen?

Befindet sich unter n tieren ein elefant, dann sind alle tiere elefanten. Beweise dies durch vollständige induktion: Induktionsanfang (n=1): wenn von einem Tier eines ein elefant ist, dann sind alle diese tiere elefanten. Annahme: Die Behauptung gelte für n tiere. Induktionsschluss: sei unter n+1 tieren eines ein elefant. Wir stellen die tiere so in eine reihe, dass sich dieser elefant unter den ersten n tieren befindet. Nach induktionsannahme sind dann alle diese ersten n tiere elefanten. Damit befindet sich aber auch unter den letzten n Tieren ein elefant, womit diese auch elefanten sein müssen.
Also sind alle n+1 tiere elefanten. Wo liegt der Fehler?

Das ist die Aufgabenstellung und ich kanns mir einfach nicht erklären was da die lösung sein sollte

...zur Frage

Heron-Verfahren bzw. babylonisches Wurzelziehen?

Was genau wird heier gesagt? Wie erkenne ich denn eine rekursive Folge? Was unterscheidet diese von normalen Folgen und da steht a_n konvergiert gegen WUzrel(x), gilt das dann auch für das davor, also a_(n+1) ??

...zur Frage

Konvergenzradius Reihen?

Hallo,

bei einer Potenzreihe von n=0 beginnend über a_n•z^n (z ist komplex) habe ich folgende Koeffzienten a_n ermittelt.

a_(2n) = (–1/2)^(n+1)

a_(2n+1) = –(–1/2)^(n+1)

Diese explizite Folge ist laut Lösungen auch korrekt. Nun soll ich noch den Konvergenzradius r bestimmen.

Hierfür habe ich einmal das Wurzel- und einmal das Quotientenkriterium genutzt. Beim Quotientenkriterium kam ich auf r=1, bei dem Wurzelkriterium auf r=2.

Die Lösung laut Buch ist r=sqrt(2).

Könnt ihr mir bitte zeigen, wie ihr den Konvergenzradius ausrechnet? Ich finde den Fehler nicht.

...zur Frage

Was möchtest Du wissen?

Deine Frage stellen