Rekursive explizite Darstellung einer Folge, benötige Hilfe?

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Hallo,

bei Aufgabe 1 ändert sich offensichtlich nichts, wenn Du von einem Folgenglied zum nächsten wechselt, denn a (n+1)=an.

Da das erste Folgenglied eine 7 ist, sind dies auch alle anderen Folgenglieder.

Die Folge lautet demnach schlicht: an=7

Bei der zweiten Folge ist das nächste Glied jeweils das Doppelte des vorigen, wobei ständig die Vorzeichen wechseln:

0,5; -1; 2; -4; 8 usw.

Du hast es im Grunde mit Zweierpotenzen zu tun, die alternierende Vorzeihen besitzen, wobei die erste Zweierpotenz 2^(-1) ist.

Dann kommt -2^0, 2^1, -2^2 usw.

Alternierende Vorzeichen bekommst Du, indem Du den Faktor (-1)^n benutzt, der für ungerade n negativ, für gerade positiv ist.

zu a1, also zu n=1 2^(-1) gehört und -1=1-2, gehört in den Exponenten schon mal

n-2.

Da das erste Vorzeichen positiv ist, 1, aber ungerade, brauchst Du als Exponenten von (-1) n+1.

Daher:

(-1)^(n+1)*2^(n-2)

Für n=1 bekommst Du (-1)^2*2^(-1)=0,5.

Für n=2 bekommst Du (-1)^3*2^0=-1

Für n=3: (-1)^4*2^1=2 usw.

Herzliche Grüße,

Willy

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Durch Betrachtung und Nachdenken kommt man darauf.

Bei 1) sollte etwa auffallen, dass alle Gleider gleich sind.

Bei 2) sollte man merken, dass sich der Betrag immer verdoppelt (-> 2er-Potenz) und sich das Vorzeichen immer ändert (-1 hoch ganzahliger Ausdruck)

Da gibt es mehrere Möglichkeiten.

Zu 1) Da ist dir wahrscheinlich ein Fehler beim abschreiben passiert.

Zu 2)

Tabelle zur Übersicht:

0      1    2    3    4    5   
0.5   -1    2   -4    8   -16

Man kann bisschen überlegen un die Vermutung anstellen, dass es sich um

 a(n) = 1/2 * (-2)^n 

handelt.

Bisher ist es nur eine Vermutung. Dann zeigen wir noch mal per Induktion, dass es auch wirklich gilt:

für n = 0

a0 = 0.5 = 1/2 * (-2)^0      stimmt also für ein n aus N U {0}
a(n+1) = -2 * a(n) = -2 * 1/2 * (-2)^(n)
                   = 1/2 * (-2)^(n+1)

Also stimmt.

Alternativ kann man die Lösungsformel für lineare Rekursionsgleichungen erster Ordnung verwenden.

Formel:

        c^n * b(0)                               // falls b(1) == 0
a(n) =  b(0)  + n*b1                             // falls c    == 1
        c^n * b(0) + (c^n - 1) / (c-1) * b(1)    // falls c    != 1

a(0) = b(0) ; an = c* a(n-1) + b(1)

Unser b(1) ist also 0. Also sind wir im ersten Fall.

Unser c ist -2 und unser b(0) ist 0.5


Insgesamt haben wir dann also:
(-2)^n * 0.5

na scheib sie doch mal hin für n = 1,2,3,4,5...

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