Rekursive und Explizite Darstellung dieser Zahlenfolge?

 - (Mathematik, Rekursive darstellung, explizite Darstellung)

4 Antworten

Hallo,

es fällt doch auf, daß die Zahl, die zur bisherigen Summe addiert wird, von Mal zu Mal halbiert wird.

Du hast also irgendetwas mit (1/2)^n, so daß (1/2)^(n+1) nur noch halb so groß ist.

Die Formel. die von einem Folgenglied zum nächsten führt, muß dann, wenn a0=2 ist,

a(n+1)=an+(1/2)^n lauten.

a1 wäre dann zum Beispiel a0 - also 2 - plus (1/2)^0, also 1, so daß a1=2+1=3

a2 wäre dann a1, also 3, plus (1/2)^1, also 1/2, was 3,5 ergibt usw.

Du hast also letztendlich eine unendliche Summe, die mit 2 beginnt und um immer kleinere Zahlen zunimmt.

Wenn Du eine Formel brauchst, die Dir an direkt verrät, auch wenn Du a (n-1), den Vorgänger nicht kennst, überlegst Du, daß

sn=(1/2)^(-1)+(1/2)^0+(1/2)^1+...+(1/2)^(n-1) ist.

Dann muß (1/2)sn=(1/2)^0+(1/2)^1+...+(1/2)^n sein.

Wenn Du sn-(1/2)sn=(1/2)sn bildest, heben sich alle mittleren Reihenglieder auf bis auf die beiden äußeren, so daß (1/2)sn=(1/2)^(-1)-(1/2)^n bzw. 2-(1/2)^n lautet.

sn ist dann davon das Doppelte, also 4-2*(1/2)^n=4-(1/2)^(n-1).

Da (1/2)^(n-1) gegen Null geht, geht die gesamte Summe der Reihe gegen 4.

Sie wird sich der 4 immer weiter annähern, sie aber niemals erreichen.

Herzliche Grüße,

Willy

a(n) = -0,25n² + 1,75n + 0,5

du musst 3 Gleichungen für y=ax²+bx+c aufstellen und a,b,c berechnen.

3 Punkte zum einsetzen zB

(1 ; 2)

(2 ; 3)

(3 ; 3,5)

Rekursiv :

a(n+1) = an + (1/2)^(n-2) , a(1) = 2

Explizit:

2 + (1-(1/2)^(n-1))/(1/2))  // 2 Anfangswert + Summe geometrische Reihe

Soll die Folge "logisch" fortgesetzt werden?

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