x*sin(1/x) Grenzwert?

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4 Antworten

Hallo,

wähle folgenden Ansatz: x*sin(1/x)=sin(1/x)/(1/x)

Substituiere 1/x durch z und bestimme den Grenzwert z gegen Null (denn für x gegen unendlich geht 1/x und damit auch z gegen Null) von
sin (z)/z nach l'Hospital:

cos (z)/1

Für z gegen Null geht cos (z) gegen 1 und 1/1=1

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Ranaros
21.02.2017, 15:37

Dürfte man das wirklich so in der Klausur machen? Du hast mir ja schon gesagt, dass man das nicht einfach so ableiten kann, gibt es denn noch einen anderen weg oder kann man das so in der Klausur verwenden? Man macht es sich damit ja ziemlich einfach :D

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x geht gegen unendlich, sin(1/x) geht gegen 0. Bei Grenzwerten ist das Produkt 0 mal unendlich nicht definiert. Also schreibst du das ganze als Bruch, zb sin(1/x)/x^(-1). Hier kannst du nun die Regel von l'Hospital anwenden:
Wenn beim Grenzwert von einem Bruch Zähler und Nenner beide gegen unendlich oder beide gegen 0 gehen, so ist der Grenzwert gleich dem Grenzwert von der Ableitung des Zählers geteilt durch die Ableitung des Nenners.

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siehe Mathe-Formelbuch "Grenzwerte",unbestimmte Ausdrücke

Ausdrücke der Form  unendlich * 0

z(x)=f(x)*g(x) Umformung lim z(x)=lim=f(x)/(1/g(x) oder lim=g(x)/(1/f(x)

lim = sin(1/x)/(1/x)=0/0 wenn x gegen unendlich

Dann l´Hospital anwenden ,gilt für Ausdrücke  der Form 0/0 oder unendlich/unendlich

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Bin mir jetzt nicht sicher aber kann man das nicht umstellen, sodass x im nenner steht, dann L'Hospital anwenden (darf man nur wenn sich 0/0 oder unendlich/unendlich bildet). Dann fällt das x weg und cos(1/x) bleibt, was dann cos 0 ist und daraus bildet sich dann 1. So hätte ich das in der Klausur gemacht.

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Kommentar von Willy1729
20.02.2017, 18:37

Im Nenner steht dann 1/x. Die Ableitung wäre dann -1/x² und würde Dir nicht wirklich weiterhelfen, denn dies würde immer noch gegen Null gehen.

Auch weitere Ableitungen helfen nicht. Die zweite lautet 2/x³, die dritte -6/x^4 usw.

Herzliche Grüße,

Willy

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