Darf man bei Zahlenfolgen die Regel von L'Hospital anwenden um den Grenzwert rauszubekommen, also darf man die Regel nicht nur bei Reihen anwenden?
3 Antworten
L'Hospital hat erstmal nichts mit Folgen oder Reihen zu tun, sondern allgemein mit Grenzwerten. Der Satz besagt - und hier muss man auf die Formulierung achten:
Gegeben zwei Funktionen f, g, die beide gegen 0 oder unendlich konvergieren, gilt:
In Worten: Wenn der Grenzwert vom Quotient der Ableitungen existiert, dann ist er gleich dem Grenzwert des Quotienten der Ausgangsfunktionen. Wo du den Satz letztlich anwendest, ist völlig egal. Voraussetzung ist, dass ein Quotient gegeben ist, dessen Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen unendlich konvergieren. Und nachdem Folgen auch nur Funktionen sind (die dem Index den Wert des Folgenglieds zuordnen), muss man dabei gar nicht unterscheiden.
(Natürlich ist der generelle Weg dorthin, Zähler und Nenner abzuleiten und dann zu gucken, ob der Grenzwert immer noch existiert. Dann ergibt sich, dass L'Hospital angewendet werden konnte.)
Grundsätzlich kannst du L'Hopital überall bei grenzwerten benutzen wo 0/0 rauskäme.
In welchem Zusammenhang das ist, wäre ziemlich egal :-)
Beide Beispiele, die du gegeben hast, sind sowohl Funktionen, als auch Folgen.
ups, stimmt,egal.
Irgendwas wo halt einem n mehrere a(n) werte zugeordnet werdne ist keine Funktion.
Ju, wird aber durch solche Abbildungsvorschriften nicht passieren.
Eine Folge IST im Übrigen ja meist eine Funktion von N nach N (ausgenommen sowas wie a(n)=(-1)^n a(n)=5 oder sowas. Das sind keine Funktionen. Aber da brauchst du auch kein L'Hopital :-))
Daher kansnt du das durchaus machen, Definitionsbereich sit dann eben N statt R wie sonst