l'hospital bei ln(0)?
Hallo, ich würde gerne lim(x gegen 0) von x*ln(x) (=ln(x)/(1/x) ) berechnen. Darf man in diesem Fall die Regel von L'Hospital anwenden? Bin mir da nicht sicher, da ln(0) nicht definiert ist und somit weder gleich 0 noch unendlich...
2 Antworten
der Limes für x gegen 0 von ln(x) ist -unendlich, der von 1/x ist unendlich. Somit hast du den Fall unendl/unendl vorliegen und kannst l'Hospital anwenden. "unendlich" ist als Limes übrigens auch bei 1/x nicht "definiert", das nennt sich "uneigentlicher Grenzwert".
Nur aus der Erinnerung heraus:
L'Hospital kannst du anwenden, wenn sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0 (oder unendlich) laufen.
Bei ln(x)/(1/x):
lim ln(x) = -∞ für x -> 0
lim 1/x = ∞ für x -> 0+ und -∞ für x -> 0-
Der Grenzwert für 1/x existiert nicht, weil linksseitiger und rechtsseitiger nicht übereinstimmen.
Ich zweifele also einfach mal an, dass man L'Hospital anwenden darf, weil die Voraussetzung nicht gegeben ist.
Ist das allgemein so, dass der Grenzwert nur von rechts berechnet wird oder spielt es einfach nur für diesen Fall keine Rolle, von wo aus er berechnet wird?
Das Vorzeichen des Grenzwerts spielt auch keine Rolle?
Das Vorzeichen spielt zunächst keine Rolle weil die Grenzwertbildung ja linear ist, d.h. du darfst Faktoren heraus ziehen. Und in diesem speziellen Fall kann der (uneigentliche) Grenzwert nur rechtsseitig berechnet werden weil der Logarithmus ja sonst überhaupt nicht definiert ist. Den allgemeinen Fall (d.h. Zähler oder Nenner haben einen unterschiedlichen rechts- und linksseitigen Grenzwert und es muß jede Folge berücksichtigt werden) müsste ich mir erst anschauen. L'Hospital hat bei uns nie eine große Rolle gespielt, da unser Dozent ihn als für die Grenzwertberechnung meist untauglich eingestuft hat. Wir sind lieber zurück zur Potenzreihe gegangen.
Da der Grenzwert sowohl für Zähler wie für Nenner für x -> 0+ berechnet werden geht das sehr wohl.