Grenzwert mithilfe der l'hospital regel?
Hi
gegeben ist folgende Funktion
Nun soll ich den Grenzwert bestimmen. Mein erster Gedanke war die Regel von l'hospital anzuwenden. Denn für x=2 komme ich auch "0 durch 0" Deshalb könnte man ja hier die Regel anwenden oder?
Ich verstehe aber nicht so ganz was lim x--> 2+ zu bedeuten hat. Also meine Frage bezieht sich auf das 2+. Was ist der unterschied wenn ich lim x--> 2 laufen lasse (ohne dieses plus)
wäre super wenn jemand weiter helfen könnte
3 Antworten
Hallo,
de l'Hospital ist hier nicht wirklich zielführend, weil die Ableitungen nicht gerade einfacher werden.
Teile den Bruch zunächst auf zu (√x-√2)/√(x²-4)+√(x-2)/√(x²-4).
√(x²-4)=√[(x+2)*(x-2)]=√(x+2)*√(x-2).
Der zweite Bruch läßt sich durch √(x-2) kürzen zu 1/√(x+2) und ergibt für x=2 den Wert 1/2.
Bleibt der erste Bruch. Auch hier wird √(x²-4) zu √(x+2)*√(x-2) umgewandelt.
Zusätzlich wird der Bruch mit √x+√2 erweitert, so daß nun oben x-2 und unten
√(x+2)*√(x-2)*(√x+√2) steht.
(x-2)/√(x-2)=√(x-2).
Es bleibt der Bruch √(x-2)/[√(x+2)*(√x+√2)].
Nach Einsetzen von 2 für x wird der Zähler Null und der Nenner eine Zahl ungleich Null (der genaue Wert spielt keine Rolle). Wichtig ist nur, daß man nun einen definierten Grenzwert erhält, denn 0 durch irgendetwas außer 0 ergibt 0.
Insgesamt ergibt sich als Limes für x=2 0+1/2=1/2.
Du siehst: de l'Hospital wird hier überhaupt nicht gebraucht. Die dritte binomische Formel, Wurzelgesetze und der richtige Umgang mit Brüchen sind viel nützlicher.
Herzliche Grüße,
Willy
Zunächst bekommst du für x -> 2- in der rechten Wurzel im Zähler einen ungültigen Wert. Es sind für x nur Werte => 2 erlaubt.
Dann würde ich für so etwas nie l'Hospital verwenden. Zunächst siehst du doch sofort, dass im Nenner ein Binom unter der Wurzel steht. Nun kannst du den Bruch auseinander ziehen. Im hinteren Teil kürzt sich der negative Teil des Binoms weg. Im vordern Teil solltest du nun mal versuchen den Bruch mit der dritten binomischen Formel zu erweitern (ein Standardtrick) und schauen wohin das führt.
Deshalb könnte man ja hier die Regel anwenden oder?
Richtig.
Was ist der unterschied wenn ich lim x--> 2 laufen lasse (ohne dieses plus)
Das bedeutet, dass du den rechtsseitigen Grenzwert bestimmen musst. Der Unterschied ist, dass der "normale" beidseitige Grenzwert (ohne Vorzeichen) nur existiert, wenn links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
Beispiel:
Der linksseitige GW von 1/x mit x->0- ist minus Unendlich.
Der rechtsseitige GW von 1/x mit x->0+ ist Unendlich.
Der beidseitige GW existiert also nicht.
Dann war ich auf der richtigen Fährte, ich war nur zu faul es hinzuschreiben :-)