Beschränktheit der Folge...?
Folge:
Wenn ich in n eine 0 einsetze kommt -1 raus. Wieso ist die Folge trotzdem unbeschränkt. Ist -1 dann nicht die obere Schranke, da die Folge bei -1 beginnt?
5 Antworten
Zuerst einmal: Ja, –1 ist eine obere Schranke, denn a_n ≤ –1. Allerdings gibt es keine untere Schranke, weshalb die Folge unbeschränkt ist.
Beschränkt wäre die Folge, wenn es eine (allgemeine) Schranke C > 0 gäbe, mit |a_n| < C bzw. |a_n| ≤ C für alle natürlichen n (die definiert sind).
Da aber |a_0| = 1 < 2 = |a_1|, kann 1 keine Schranke sein (2 ist ja größer als 1).
Und wieso ist die Folge nun unbeschränkt?
Ganz einfach |a_n| = 2ⁿ ist streng monoton steigend, also gibt es zu jedem n ein m > n, sodass |a_n| < |a_m|. Man kann also keine Schranke finden.
Das kannst du natürlich auch ohne den Betrag argumentieren, denn a_n ist streng monoton fallend, also kann man keine untere Schranke finden (also ist a_n unbeschränkt).
Du verwechselst meiner Meinung nach die Begriffe "obere Schranke", "untere Schranke" und "Beschränktheit".
Die Folge ist "unbeschränkt", da es zwar eine (kleinste) "obere Schranke" (-1, wenn n ∈ ℕ₀ , ansonsten -2) gibt, aber eben keine "untere Schranke". Und damit fällt die Bedingung für "Beschränktheit": Es müsste dafür sowohl eine obere als auch eine untere Schranke geben.
Und?
Niemand und nichts ist unfehlbar und damit sind auch vorgegebene Lösungen nicht zwingend frei von Fehlern. Die Definition von oberere Schranke ist:
∃ S ∈ ℝ | an ≤ S ∀ n ∈ ℕ, dann ist S eine obere Schranke der Folge an
Es sei denn, Du hast in der Frage die Folge falsch hingeschrieben und da sollte eigentlich
an = (-2)n
stehen.
Nene ist schon richtig oben. Also wäre -1 die obere Schranke, oder?
... 0, 5 oder 100, das wäre egal. "Obere Schranke" ist nicht zu verwechseln mit "kleinste obere Schranke" (auf deren Suche Du zu sein scheinst).
Eine Folge gilt als beschränkt wenn die Folge eine obere und untere Schranke aufweist;
Was verstehst du dann nicht? (Also wieso stellst du dann die Frage?)
Bei mir in den Lösungen steht, es gäbe keine obere Schranke (habe ich gedacht).
War also ein Missverständnis.
Ne, da wurde irgendwie anders gerechnet. Man hat erst die 2^n genommen und gesagt, sie habe keine obere Schranke, was ja stimmt.
Ah ok. Also so, wie ich es in meiner Antwort auch gemacht habe (man betrachtet in der Regel den Betrag für Beschränktheit)?
Wie kommst Du darauf, dass die Folge mit -1 beginnt? n steht normalerweise für natürliche Zahlen. Und die fangen je nach Definition mit 0 oder 1 an. Wie verläuft die Folge, wenn n --> ∞?
Nein, sie ist unbestimmt divergent (also weder + Unendlich noch – Unendlich)
Äh, doch sie ist bestimmt divergent. Setz doch mal Zahlen ab 0 in n ein?!
Oder was ist jetzt mein Fehler?
Dein Denkfehler ist, dass du nicht beachtest, dass die Folge alternierend ist. Nach jedem Folgenglied ändert sich also das Vorzeichen.
Das gilt natürlich auch für sehr sehr große Zahlen bis ins Unendliche. Also divergiert die Folge unbestimmt.
Du kannst zwei Teilfolgen bilden, z. B. alle positiven Glieder und alle negativen Glieder, dann divergieren beide bestimmt gegen + bzw. – unendlich.
Nein, ich weiß nicht, wie du darauf kommst, dass die Folge alternierend ist. Das Vorzeichen bleibt immer negativ, egal welche natürliche Zahl man in n einsetzt.
a_0 = -1
a_1 = -2
a_2 = -4
a_3 = -8
...
Du liegst falsch!!
Ach du kacke, ich habe mich verlesen, ich habe
aₙ = (–1)ⁿ • 2ⁿ
gelesen. Sorry.
Und ja, –1 ist eine obere Schranke. Allerdings gibt es keine untere, weswegen die Folge unbeschränkt ist (siehe auch meine Antwort).
Genau. Das wollte ich doch hören, haha. Passiert doch den besten mal.
Ich meine, wenn man 0 einsetzt, kommt -1 raus und ist ja die obere Schranke. Das ist falsch, aber ich verstehe meinen Denkfehler nicht.
Ich kann keine Schränke bauen
Aber in den Lösungen steht eben, dass es auch keine obere Schranke gibt. Das ist mein Problem.