Wie bestimmt man das Supremum/Infinimum einer Menge?
Wie wird es bestimmt, wenn in der Menge z. B. A={x e N | 1/x} steht und nicht kleiner oder größer eine weitere Zahl, wie funktioniert es dann mit der Fallunterscheidung?
3 Antworten
Supremum ist das kleinste obere Schranke der Menge. Infimum das größte untere Grenze der Menge.
In dein Beispiel 1/x mit x die natürlichen Zahl hat kein größe Grenze. Wenn x gegen unendlich geht strebt 1/x gegen 0. Deswegen ist 0 das größte untere Grenze der Menge.
Achso, also löse ich es dann mit dem Verhalten gegen unendlich?
Die Elemente der Menge A kann man absteigend anordnen,
1 > 1/2 > 1/3 > ... 1/n ....
Das Supremum ist damit offensichtlich gleich 1. Weil diese Folge für n gegen unendlich gegen 0 geht, ist das Infimum gleich 0.
Das Infimum einer Menge ist die kleinste obere Schranke der Menge, die aber gar nicht selbst in der Menge liegen muss - im Gegensatz zum Minimum. So ist das Infimum in Deinem Beispiel 0, während ein Minimum gar nicht existiert…
Da gibt es verschiedene Methoden - in der Regel berechnet man erst einmal den Grenzwert, wenn die Menge durch eine Folge definiert ist. Wenn man aber zum Beispiel die Menge B := { (-1)^n/n, n € N} betrachtet, muss man sich noch überlegen, dass die Folge zwar gegen 0 konvergiert, aber für n = 1 das Minimum -1 annimmt, das auch gleichzeitig Infimum ist…
Und wie weist man es dann „rechnerisch“ nach?