Fallunterscheidung bei Sinussatz?
Eine Winkelfunktion hat immer 2 Ergebnisse. Woher weiß ich welcher der richtige Winkel ist, wenn ich z.B. a= 4,5cm ; b= 6cm ; alpha = 47,4° habe und ich beta berechnen will? Wie funktioniert da die Fallunterscheidung?
4 Antworten
Woher weiß ich welcher der richtige Winkel ist
Wenn beim SSW-Satz der der kürzeren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben ist, dann gibt es tatsächlich zwei Lösungen, also zwei verschiedene Dreiecke, die die Angabe erfüllen. Die musst du beide berechnen und angeben.
Wenn du wissen willst, warum das so ist, versuche es doch zu konstruieren. Auch da wirst du sehen, dass es zwei mögliche Werte für den Winkel und somit zwei Lösungsdreiecke gibt.
Vielleicht steht ja noch ein Hinweis in der Angabe, woraus man schließen kann, welche der beiden Lösungen gesucht ist.
Nein, nicht wirklich. Berechne die fehlenden Werte... ¯\_(ツ)_/¯ Danke, jedenfalls.
Konstruieren !
Man trägt alpha an b an und der Zirkel kommt mit r = a in den Punkt C
.
Trifft er den Schenkel AB ::::::
nicht?
genau einmal?
sonst zweimal
.
Dazu kann man die Höhe auf c bestimmen
sin(alpha) = Höhe/b
sin(47.4) = x/6
Höhe ist 4.41658.................b = 6 , trifft also zweimal
hier eine "Skizze" , die das illustrieren soll ::::: aber eher seltsam ist weil das zweite Dreieck kein Alpha mehr hat
Nehmen wir als Beispiel ein Dreieck und untersuchen 2 Fälle.
Fall 1)
2 Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel sind gegeben
a = 8 cm , α = 53,13° , b = 6 cm
Sinussatz:
sin(β) = (6 / 8) * sin(53,13°)
β_1 = 36,87°
β_2 = 143,13°
β muss kleiner sein als α, da b kleiner als a ist. Daher kommt nur der kleinere Winkel infrage. Der Fall ist eindeutig.
Fall 2)
2 Seiten und der der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel sind gegeben
a = 8 cm , b = 6 cm , β = 36,87°
sin(α) = (8 / 6) * sin(36,87°)
α_1 = 53,13°
α_2 = 126,87°
α muss größer sein als β, da a größer als b ist. Da beide Winkel größer als β sind, ist dieser Fall nicht eindeutig. Es gibt 2 mögliche Dreiecke.
was ist eigentlich , wenn a sehr groß wäre . Dann gibt es auf jeden Fall einen Punkt B rechts , aber auch einen Treffer auf der Verlängerung des Schenkels von Alpha links von A .
Schau dir am besten einmal eine Winkelfunktion an.
Winkelfunktionen sind Funktionen, also wird jedem x genau ein y zugeordnet.
Andersherum wird in einer Periode jeder y-Wert (bis auf die Extremstellen) genau zweimal angenommen.
Das heißt, dass zum Beispiel sin(50°) = 0,766 = sin(180°-50°) = sin(130°) ist.
Das heißt, die Umkehrfunktion arcsin ist nicht eindeutig.
Rechnen wir mal dein Beispiel durch. Sinussatz:
Der Taschenrechner kann nur ein Ergebnis liefern. Hier 78,95°
es ist aber auch sin(101,05°) = 0,9814. Somit könnte der Winkel Beta auch 101,05° sein.
Die Ursache der Uneindeutigkeit liegt darin begründet, dass SSW gegeben ist, aber der Winkel Alpha nicht der längeren Seite gegenüberliegt.
Mit anderen Worten: Es gibt zwar eine Fallunterscheidung, aber es gibt nicht die eindeutige Lösung / das eindeutige Dreieck.
Gut, aber wieso gibt es nicht zwei Winkel, die zur selben Lösung führen bei SSW, während der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt?
Kannst du schnell überprüfen, indem du mal mit a=7cm, b=6cm und alpha=50° rechnest, aber ich erspare mir das, weil ich sehe, dass gauss58 das bereits vorgeführt hat.
Grafisch wird es so aussehen, dass alpha in der einen Variante auf einmal außerhalb des Dreiecks liegt. b liegt auf der anderen Seite des Dreiecks als in der anderen Variante.
Man müsste als den korrespondierenden Innenwinkel 180°-alpha verwenden oder ein ganz anderes Dreieck verwenden.
In einem ähnlichen Beispiel ist im Lösungsbuch aber immer nur eine Lösung angegeben, ist das der Einfachheit halber?