Warum ist das Supremum so definiert?
Die Definition des Supremums ist ja:
Sei b eine reelle Zahl > 0.
Eine Zahl s ist das Supremum der Menge A, wenn es ein a aus A gibt, sodass s - b < a und für alle a gilt: s >= a.
Angenommen, die Menge A ist ein Intervall [0, 1).
Wenn ich jetzt das größte Element x aus A nehme
Daraus folgt: 1 - (1 - x) = x und damit wäre die Aussage s - b < a falsch.
Also ich denke meine Frage ist wieso gibt es in einer offenen Menge kein Maximum? (z.B. unendlich oder so).
2 Antworten
Da stimmt was mit der Definition nicht:
s ist das Supremum von A, wenn
- Für jedes a in A gilt s >= a,
- Für jedes b > 0 gibt es ein a in A mit s - b < a.
Das Intervall [0,1) hat kein größtes Element. Jedes Element darin ist kleiner als 1, also müsste auch das größte Element kleiner als 1 sein.
Nehmen wir an, a wäre das größte Element im Intervall. Dann ist also a < 1.
Aber dann ist auch a + (1 - a)/2 im Intervall enthalten und größer als a, im Widerspruch zur Maximalität von a.
Es gibt halt keine "größte Zahl", die kleiner als 1 ist - wir können uns der 1 beliebig annähern.
Ja, das ist ein Unterschied. Wenn du am Anfang sagst: "Sei b > 0 eine reelle Zahl", dann ist diese Zahl für alles, was darauf folgt, "fest" (es könnte jede positive reelle Zahl sein, aber es ist trotzdem nur eine feste Zahl).
Aber dass es für ein festes b ein a mit s - b < a gibt, ist nicht hinreichend.
Ich geb dir vllt mal ein einfacheres Beispiel, um den Unterschied zu demonstrieren:
Definition 1:
Sei b > 1. Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl, wenn b = n gilt oder n nicht durch b teilbar ist.
Mit dieser Definition könnte ich jetzt argumentieren, dass n = 6 eine Primzahl ist:
b = 5 ist definitiv größer als 1. Es gilt zwar nicht b = n, aber n ist nicht durch b teilbar. Somit ist 6 eine Primzahl.
Vergleichen wir das mit einer (etwas) besseren Definition:
Definition 2:
Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl, wenn für alle b > 1 gilt: b = n oder n ist nicht durch b teilbar.
Jetzt kann ich die Argumentation nicht mehr verwenden: Zwar ist 6 nach wie vor nicht durch 5 teilbar, die Eigenschaft "b = n oder n ist nicht durch b teilbar" muss nicht nur für irgendein b erfüllt sein, sondern für alle b > 1. Und weil die Eigenschaft nicht erfüllt ist für b = 3, ist n = 6 keine Primzahl.
Also ich denke meine Frage ist wieso gibt es in einer offenen Menge kein Maximum?
Was ist denn das Maximum des Intervalls (0,1)?
Der Unterschied zwischen Maximum und Supremum ist erstmal, dass das Maximum ein Element in der Menge sein muss.
1-x mit x sehr klein ist als Wahl des Maximums ungeeignet, da 1-x/2 auch in (0,1) liegt, aber größer als 1-x ist.
Wieso ist meine Definition falsch?
Meine Aussage: und für alle a gilt: s >= a.
Sei b eine reelle Zahl > 0. Eine Zahl s ist das Supremum der Menge A, wenn es ein a aus A gibt, sodass s - b < a
Diese Aussagen sind doch Äquivalent bis auf die Tatsache, dass ich statt "für jedes b eine reelle Zahl > 0"
Sei b eine reelle Zahl > 0
geschrieben habe.
Ist das überhaupt ein Unterschied? Das wäre ja so ähnlich wie wenn ich schreiben würde b mit der Eigenschaft > 0. Und damit wären alle b > 0 gemeint.