Wie bestimmt man die folgende Menge?

Hallo zusammen, ich habe gerade in Mathe Mengen und Zahlen zur Wiederholung und verstehe die eine Aufgabe nicht. Die Aufgabe lautet.

Wie löst man diese.

Comments

[LUKEars]

du meinst: $\bigcap_{k=1}^{\infty} M_k$ oder?

[Henriklol456]

yes fällt mir erst jetzt auf stimmt man muss M tief k schreiben

[LUKEars]

hast dir die M_k mal für k=1 bis k=4 aufgeschrieben? $M_1=\{0,\frac{1}{2},\frac{1}{3}, ...\}$ ...

dann sieht man doch, wie der Hase läuft... oder?

[Henriklol456]

stimmt okay danke für die Hilfe

Answer 1

[evtldocha]

Schau Dir mal nur

$M_1\ \cap\ M_2$ an. Vielleicht hilft das schon.

Answer 2

[mihisu]

Schau dir doch zunächst einmal an, wie die Mengen Mₖ für einige k aussehen (beispielsweise für k = 1, k = 2, k = 3)...

$M_1=\left\lbrace 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots\right\rbrace$

$M_2=\left\lbrace 0, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \ldots\right\rbrace$

$M_3=\left\lbrace 0, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \ldots\right\rbrace$

[...]

Ein x ist nun genau dann Element der Schnittmenge dieser Mengen, wenn es in jeder der Mengen liegt.

Insbesondere muss ein Element der Schnittmenge in der Menge M₁ liegen. Gehe dementsprechend die Elemente der Menge M₁ durch und überprüfe, ob diese auch in allen anderen Mengen liegen.

• Liegt 0 in allen Mengen?
• Liegt 1/2 in allen Mengen?
• Liegt 1/3 in allen Mengen?
• Liegt 1/4 in allen Mengen?
• [...]

Die Elemente, bei denen du da mit einem „Ja“ antworten kannst... Das sind die Elemente in der Schnittmenge.

============

Ergebnis:

$\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}M_k=\left\lbrace 0\right\rbrace$

Denn...

• 0 liegt offensichtlich in jeder der Mengen Mₖ für k ∈ {1, 2, 3, ...}, also auch in der Schnittmenge.
• Jedes Element der Schnittmenge muss insbesondere in M₁ liegen, wo jedes Element außer 0 von der Form 1/n mit einem n ∈ {2, 3, 4, ...} ist. Solch ein Element der Form 1/n liegt dann jedoch nicht in der Menge Mₙ (also nicht in der Menge Mₖ mit k = n), also auch nicht in der Schnittmenge.

Comments

[Henriklol456]

Vielen Dank für die hilfe