Wie bestimmte ich die Definitions- und Lösungsmenge bei dieser Gleichung?
Folgende Aufgabe:
Seien a und b reelle Zahlen mit −a ≠ b ≠ a. Bestimmen Sie die Definitions- und Losungsmengen der folgenden reellen Gleichung!
Ich verstehe leider absolut gar nichts, könnte mir bitte jemand erklären was ich hier machen muss? Schön wären auch ein paar Schlagwörter mit denen ich auf YT was dazu finden kann.
Die Lösung soll sein:
2 Antworten
Der Nenner darf nicht Null werden, also ist D = R \ {-a ; a}.
Du bringst beide Seiten auf den Hauptenner (x - a) * (x + a).
Beachte: (x² - a²) = (x - a) * (x + a)
Beseitige den Nenner durch Multiplikation.
Fasse die beiden Seiten jeweils zusammen. Das ergibt:
x² - 2ax + 2 = 0
x = a +-√(a² - 2)
Hierbei ist zu beachten, dass der Wert unter der Wurzel nicht negativ sein darf (wir bewegen uns in R). Löse die Ungleichung a² - 2 > 0. Folglich muss für a das Intervall [-√2 ; √2] ausgeschlossen werden. Überlege Dir, warum a² - 2 = 0 ausgeschlossen ist, denn die Wurzel aus 0 ist ja definiert.
Setze a = 0 und vereinfache entsprechend. Du stellst fest, dass (-1 / x) + (1 / x) = 0 für jedes x definiert ist, außer für x = 0.
Um die Definitionsmenge zu bestimmen, musst du schauen, welche Werte du nicht für x einsetzen darfst (Hinweis: Man darf nicht durch 0 teilen...).
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, musst du die Gleichung nach x umstellen. Beim Umstellen musst du dann am Ende Fallunterscheidungen machen, darum gibt es diese verschiedenen Lösungsmengen (Hinweis: wann haben quadratische Gleichungen nochmal wie viele Nullstellen?)