LGS- Schnittgeraden bestimmen?

Bestimmen sie Die Lösungsmenge des LGS. Interpretieren Sie das LGS und die Lösungsmenge geometrisch.

x+y-z=2

x+z=1

2x+y=5

Ich habe das LGS gelöst und keine Lösung raus. Allerdings steht in der Lösung, dass man trotzdem die Schnittgeraden herausfinden kann da die Normalvektoren orthogonal zueinander sind. Doch wie finde ich die 3 Schnittgeraden heraus?

Answer 1

[Hamburger02]

Die Lösungsmenge ist die leere Menge.

Beim Lösen des LGS kommt man auf die Aussage:
0 = -2
Das ist eine falsche Aussage und daher gibt es keine Lösung.

Geometrisch kann man die 3 Gleichungen als Koordinatengleichungen von Ebenen auffassen. Berechnet man deren Schnittgeraden, haben diese keinen Schnittpunkt, da z.B. die Schnittgerade von Ebene 1 mit Ebene 2 sowie von Ebene 1 mit Ebene 3 parallel sind.

Doch wie finde ich die 3 Schnittgeraden heraus?

Ich habe das so gelöst:
1) Alle Koordinatenformen in die Parameterform umgewandelt mit dem Ergebnis:

aus x+y-z=2 wird Ebene 1:

aus x+z=1 wird Ebene 2:

aus 2x+y=5 wird Ebene 3:

Wenn man nun Ebene 1 mit Ebene 2 schneited, erhält man als Schnittgerade:

Schneidet man Ebene 1 mit Ebene 3, erhält man:

Schneidet man Ebene 2 mit 3 erhält man:

Nun sieht man direkt, dass alle drei Schnittgeraden unterschiedliche Aufpunkte haben, aber alle 3 Richtungsvektoren linear abhängig oder sogar identisch sind. Alle Schnittgeraden sind also echte Parallelen.