Mathetextaufgabe, welche Denkweise?

Wenn man eine zweistellige natürliche Zahl um 4 vergrößert, bekommt man eine Zahl, die 6-mal so groß wie die Quersumme der ursprünglichen Zahl ist. Bestimmen Sie die ursprüngliche Zahl.

Die Lösungsformel ist, dass die Zahl 10a + b mit a Element {1 -9 } und b Element {0-9 } gesucht ist. Wie kommt man darauf, also wie muss man denken um bei diesen Textaufgaben verlässlich Lösungen zu ermitteln?

Answer 1

[verreisterNutzer]

Um solche Aufgaben zu verstehen, muss man unser Zahlensystem als Stellenwertsystem begreifen und anwenden:

Eine zweistellige beliebige Zahl, mit den Ziffern "ze" geschrieben, bedeutet als Wert:
z Zehner und e Einer also: z·10 + e·1. Die Quersumme davon ist (z + e). Wichtig sich zu merken und für den Rest im Kopf zu behalten: z und e sind Ziffern, können also erstmal nur 0 < z ≤ 9 und 0 ≤ e ≤ 9 sein (z darf nicht 0 sein, sonst wäre es keine zweistellige Zahl mehr).

Damit bekommt man aus dem Aufgabentext die Gleichung

$z\cdot10+e\cdot1\ +4\ =\ 6\left(z+e\right)$

Mit ein paar Äquivalenzformungen kommt man dann auf die Form

$e=\frac{4}{5}\left(z+1\right)$ Jetzt erinnert man sich daran: e ist eine Ziffer, insbesondere aber ein Element der natürlichen Zahlen ℕ⁰ kleiner als 10. Das klappt aber wegen des Nenners 5 nur, wenn (z+1) ein Vielfaches von 5 ist, damit die 5 im Nenner gekürzt werden kann.

Mathematisch:

$z+1\ =k\cdot5\ \ \ ;\ k\ \in\mathbb{N};\ z\ <10$

Damit:

$z=k\cdot5-1$ Nun setzt man der Reihe nach k = 1;2;3;... ein, bis keine Ziffer mehr für z herauskommt:

$k=1:\ z=1\cdot5-1=4\ \ \to e\ =\frac{4}{5}\left(4+1\right)=4$ $k=2:\ z=2\cdot5-1\ =9\ \to e=\frac{4}{5}\left(9+1\right)=4\cdot2=8$ $k=3:\ z=3\cdot5\ -1\ =14\ >9\ \ \to keine\ Ziffer$

Es gibt also zwei 2-stellige Zahlen, die diese Bedingung erfüllen: 44 und 98

Probe:

44 + 4 = 48; 6 · Quersumme = 6 · (4 + 4) = 48
98 + 4 = 102; 6 · Quersumme = 6 · (9 + 8) = 6 · 17 = 102