Ist die Quersumme zweier aneinandergereihter Zahlen genauso groß, wie die ihrer Summe?

Hallo, ich stehe momentan vor einem Problem in Mathe. Ich versuche die Quersumme einer Zahl herauszufinden, die aus einer Aneinanderreihung aller zweistelligen Zahlen (10, 11, 12, 13, ..., 99).

Mein Lösungsansatz ist, all diese Zahlen zu addieren, um dann ihre Quersumme herauszufinden. Also: Die Quersumme wäre dann 9.

Die Frage ist jetzt, ob diese Überlegung allgemein gilt, oder ob nur dieses Beispiel richtig ist (die Quersumme ist richtig, hab es mir auch anders überlegen können).

Es muss also gelten (Q(x) heißt Quersumme von x): Q(xy)=Q(x+y).

Leider konnte ich dazu nichts online finden, vielleicht kann mir ja hier jemand helfen ;]

Mathmaninoff, UserMod Light

31.01.2023, 18:33

Die Quersumme wäre dann 9.

Welche Quersumme ist 9? Weder die Quersumme von 10111213...9899 noch die von 4905 ist 9.

Antilax

Fragesteller

31.01.2023, 21:11

Ich habe mich falsch ausgedrückt. Die Quersumme von 4905 ist 18, die von Achtzehn 9. Der Grund für mein Nachfragen ist, dass ich herausfinden will, ob 1011..99 durch 9 teilbar ist.

3 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Jangler13

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

rechnen, Gleichungen, Mathematiker

31.01.2023, 18:33

Die Quersumme wäre dann 9.

Es sollte eigentlich klar sein, dass das nicht die Quersumme der tatsächlichen Zahl sein kann, da die 9 mehr als ein Mal vorkommt, die Quersumme ist also echt größer als 9.

Oder meinst du die iterierte Quersumme?

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Antilax

Fragesteller

31.01.2023, 18:34

ja genau, ich will herausfinden, ob sich diese Zahl durch 9 teilen lässt

Jangler13

31.01.2023, 18:43

@Antilax

Also die iterierte Quersumme erhälst du, indem du die Zahl Modulo 9 nimmst (und wenn 0 rauskommst setzt du das Ergebnis 9, falls die ursprüngloche Zahl nicht 0 ist)

100 mod 9 = 1 gilt, erhälst du die selbe iterierte Quersumme, wenn du die Zahl in zweierblöcke aufteilst, diese summierst und dessen iterierte Quersumme bestimmst (das folgt aus den Eigenschaften der Restklassenringe)

Also ja, das gilt im allgemeinen. Du kannst die Zahl auch in andere Blöcke aufteilen. ABER die tatsächliche Quersumme kommt dann natürlich nicht raus.

Du kannst aber auch anders zeigen, dass Quersumme durch 9 teilbar ist:

1+2+...+9 ist durch 9 teilbar. Da jede Ziffer gleich oft vorkommt, wenn du sie aneinanderreihst, ist die Quersumme somit ein Vielfaches der 9.

Dufo4

11.11.2023, 13:26

ZE = ZehnerEiner

Z ist eine Ziffer von 1 bis 9 und jede kommt 10 mal vor in Verbindung mit der Einerstelle.

E ist eine Ziffer von 0 bis 9 sein, und jede kommt 9 mal vor in Verbindung mit der Zehnerstelle.

Zusammen ergibt dies die Quersumme:

10*(1+2+3+4+5+6+7+8+9) + 9*(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 10*45 + 9*45 = 855

weil 855 durch 9 teilbar ist, ist auch 101112131415....979899 durch 9 teilbar

eterneladam

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

rechnen, Funktion, Gleichungen

31.01.2023, 18:33

Das was du machst ist ja genau die Quersummenberechnung.

Antilax

Fragesteller

31.01.2023, 18:36

Da bin ich mir eben nicht so sicher. Die Quersumme wird ja nicht aus jeder einzelnen Ziffer gebildet, sondern aus der Summe der einzelnen zweistelligen Bestandteile :)

eterneladam

31.01.2023, 18:53

@Antilax

OK, man muss schon präzisieren, dass es um die iterierte Quersumme geht, worauf auch Jangler13 hingewiesen hat. Dazu gibt es auch was online:

https://de.wikipedia.org/wiki/Quersumme#Einstellige_(oder_iterierte)_Quersumme

Deine Zahl aus aneinandergereihten zweistelligen Zahlen entspricht einer Summe von diesen zweistelligen Zahlen multipliziert mit entsprechenden Zehnerpotenzen. Bei der Formel in Wikipedia werden diese Zehnerpotenzen modulo 9 genommen, werden also zu 1, damit bist du wieder bei der Summe dieser zweistelligen Zahlen, die du nun modulo 9 weiter ausrechnen kannst.

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