Fehler im Beweis?
Hallo Leute, es hat sich der Fehler-Teufel im Beweis eingeschlichen und ich sollte dabei auch begründen wieso es sich um einen Fehler handelt. Leider stehe etwas aufn Schlauch bei diesen Beweis.
Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar
.
Gerne nur, wo ist deine Beweisführung?
ich habe es gerade eingefügt sorry!
Ich sehe nichts. Müssen wir warten, bis der Bearbeitungsvorschlag angenommen wurde?
es ist da
2 Antworten
Der Fehler liegt im letzten Satz:
(1) und (2) zusammen ergeben CA=CB
Der Schluss ist falsch, da CA = PC + PA und CB = QC - QB (oder umgekehrt)
Bei gleichschenkligen Dreiecken fallen A und P bzw. B und Q zusammen.
In der Zeichnung wurde gemogelt.
vgl.: https://www.geogebra.org/classic/sk8xgy3s
Da die Winkelhalbierende (W_y) nicht auf der Seitenhalbierenden (m_c) liegt, können AC und BC nur ungleich sein (in diesem Fall AC < BC). Beim gleichschenkligen Dreieck wären diese beiden Strecken aber gleich lang.
Im Beweis steht SAP=SBQ, aber das ist einfach falsch und wird auch nicht "bewiesen" - also wurde einfach willkürlich ohne Begründung da reingepackt. Die Zeile, wo "(2)" steht, ist falsch.
SP=SQ und SA=SB
SAP ≡ SBQ wird mit dem Kongruenzsatz SsW begründet.
W ist der rechte Winkel an SP bzw SQ
Die beiden Dreiecke sind tatsächlich kongruent.
Nein. Die Seiten sind nicht gleich lang. Nur die beiden rechten Winkel sind identisch, sowie SA und SB, aber die anderen vier Steecken (BQ, AP, SQ, SP) sind nicht kongruent.
https://studyflix.de/mathematik/winkelhalbierende-3815 (steht nicht nur dort)
Winkelhalbierende einfach erklärt
Eine Winkelhalbierende ist ein Strahl, der einen Winkel in zwei gleich große Hälften teilt und am Scheitelpunkt entspringt. Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden ist von den beiden Schenkeln, die den Winkel bilden, gleich weit entfernt.
SP und SQ sind die Abstände des Punktes S auf der Winkelhalbierenden zu den beiden Schenkeln.
Damit hat man zwei Seiten SA, SP und den an der kürzeren Seite liegenden Winkel und für das andere SB, SQ und den rechten Winkel. Daher ist SAP ≡ SBQ nach Kongruenzsatz SsW und damit auch BQ=AP.
In der Zeichnung ist das nicht so, der Winkel in P ist bei genauerem Hinsehen >90°
Daraus soll man lernen, dass man nicht jede Planskizze kritiklos hinnehmen knn.
Doch, der muss ja eigentlich 90° sein. Denn der Winkel oben von P ist ja ein rechter Winkel. Da die Strecke AC eine Gerade ist, muss der Winkel unten von P auch ein rechter Winkel sein. Das geht aber nur, wenn AP gleich BQ wäre - dem ist aber nicht so, also hast du da deinen Widerspruch.
Nicht überall wo "rechter Winkel" drauf steht ist auch rechter Winkel drin.
Wenn CA die kürzere Seite ist, muss P außerhalb des Dreiecks liegen.
So langsam dämmert mir, warum wir uns nicht einig werden. Du gehst von der Skizze aus und ich von ihrer Konstruktion. Da bereits bei "Wir zeichnen die Lotstrecken ..." gemogelt wurde, kann man anhand der Skizze nichts mehr beweisen. Man muss jede Gleichheit von Längen begründen (können). "Das sieht man doch" funktioniert bei geometrischen Beweisen (oft) nicht.
W ist der rechte Winkel an SP bzw SQ
Danke für diesen Hinweis! Ich hatte zuerstauch (2) angezweifelt, weil ich für den Winkel (in SsW) den bei S im Visier hatte. Die Möglichkeit, dass die beiden Dreiecke nicht spiegelbildlich sein müssen (wie es die Skizze suggeriert), habe ich komplett übersehen. Böse Falle!
Deswegen ist es ja eine falsche Aussage... wenn da steht, es sei ein rechter Winkel, ist es aber nicht, dann ist der Beweis verloren
Ich hab nie von "das sieht man doch..." geredet. Ich spreche von Symmetrie, und wenn in einer Skizze Symbole wie der rechte Winkel sind, dann geht es doch um die Konstruktion...
Woraus schließt du, dass man von Symmetrie ausgehen kann? In der Konstruktionsbeschreibung steht nichts davon, es wird auch nicht für den Beweis verwendet. Zur Erinnerung: Die offensichtlich falsche Behauptung "Alle Dreiecke sind gleichschenklig" wurde scheinbar schlüssig bewiesen. Aufgabe war, den Fehler im Beweis zu finden.
Ja aber der Beweis hat ja gerade den Fehler, dass dort etwas festgelegt wird, obwohl es der Symmetrie widerspricht... ach scheiß drauf... brauchst meine Hilfe ja scheinbar nicht
Ich will ja nicht angeben - doch will ich, aber ich habe wohl mehr falsches im Beweis gefunden als du... wenn du meine Angaben nicht verwenden möchtest dein Problem - jemand anderes wird dir zuvorkommen und die Pluspunkte einsacken
Schlaf nochmal drüber.
Der einzige Fehler ist "(1) und (2) zusammen ergeben CA=CB" Mehr muss man nicht finden. Bis dahin ist alles korrekt und recht geschickt getarnt.
Auch ich will nicht angeben, aber ich glaube, ich habe etwas mehr mathematischen Background als du. Aber ich finde deine Hartnäckigkeit gut. Vielleicht studierst du auch mal Mathe und hilfst in 44 Jahren anderen im Internet (falls es sowas dann noch gibt).
Boomernde Grüße ;-)
Aber SA=SB ist schon falsch. Die Winkelhalbierende (W_y) ist ja nicht senkrecht zur Strecke AB, somit erhält man auch keine zwei kongruente Dreiecke SAM und SBM (sind nicht einmal ähnlich). Es ginge nur, wenn MB=MA wäre, was aber - wie eben erwähnt - nicht gehen kann, da W_y nur die Winkelhalbierende, nicht die Seitenhalbierende ist (wie es nur bei einem gleichschenkligen oder gleichseitigen Dreieck wäre) und somit M nicht in der Mitte liegt.
Der Fehler im Beweis ist also, dass von einem gleichschenkligen Dreieck ausgegangen wird, aber die Voraussetzungen, dass W_y≡m_c gilt, wurde nicht gezeigt. Das es einen Schnittpunkt bei S gibt, ist nichz hinreichend für den Beweis, nur notwendig.
Sei M der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit AB.
Dann gilt AM = MB
Die beiden Dreiecke durch AMS und durch BMS haben die Seite MS gemeinsam und AM schließt mit MS ebenso wie BM mit MS einen rechten Winkel ein.
Daher sind AMS und BMS kongruent nach SWS, die jeweils dritten Seiten AS bzw BS sind gleich lang. Wenn dir Kongruenzsätze nicht so liegen, kannst du das auch mit Pythagoras zeigen.
Guck mal auf meine Zeichnung oder spiel mit dem Geogebra-Link herum. Da sind die rechten Winkel wirklich 90° und es werden nur die Angaben aus der Konstruktionsbeschreibung verwendet.
Aber wo soll denn dann der Fehler sein?
Wenn bis PC=QC, PA, QB alles korrekt ist, wo ist dann der Fehler im letzten Schritt?
Siehe meine Zeichnung und meine Hauptantwort. Die beiden Dreiecke SAP ≡ SBQ sind zwar kongruent, aber sozusagen "umgeklappt". Auf der einen Seite wird AP an CP angehängt, auf der anderen Seite wird BQ von CQ abgezogen. Die Zeichnung des Fragestellers erweckt den Eindruck, als wenn beide Male angehängt würde, dass also CP+PA = CA = CQ + QB = CB. Tatsächlich gilt aber CP+PA = CA und CQ-QB=CB (oder umgekehrt). Beim gleichschenkligen Dreieck ist P=A und Q=B, da wäre die Aussage richtig.
Bei Geogebra https://www.geogebra.org/classic/sk8xgy3s kannst du mit den Ecken A, B und C herumspielen und die anderen Punkte und Linien passen sich entsprechend an, da wird das deutlich. Ich habe den Fehler auch erst mit Geogebra gefunden. Tolles Tool, zu meiner Schulzeit gab es das noch nicht.
Ja, das verstehe ich. Aber in deiner Zeichnung sind im Gegensatz zur gegebenen Skizze nicht die markierten rechten Winkel vorhanden...
doch. vielleicht nicht an der gleichen stelle markiert. aber wenn sich 2 geraden im rechten winkel schneiden, sind alle 4 winkel 90°
Das stimmt zwar, wird aber im Beweis nicht benutzt. Dass der Beweis falsch ist, ist ja offensichtlich. Gesucht ist der Fehler im Beweis.