Muss ein Untervektorraum die Vektorraum-Axiome erfüllen?
Moin,
gegeben ist folgender Unterraum W = {(a,b,c) : a>= 0} von V = R^3.
Ich prüfe nun den Unterraum, ob er bzgl. der Operationen auf V abgeschlossen ist. Dies ist natürlich für die skalare Multiplikation nicht der Fall (sollte das Skalar < 0 sein).
Soweit ist mir das Vorgehen klar, aber könnte man hier auch damit argumentieren, dass W bzgl. der elementweisen Addition kein Inverses Element besitzt, also wenn a nicht gerade 0 ist?
Allgemein: Gibt es eigentlich Fälle wo zwar die Operationen nur Elemente aus W liefern, aber die Vektorraum Axiome nicht erfüllt sind?
2 Antworten
Ja, auch ein Untervektorraum muss die Vektorraum-Axiome erfüllen, aber es reicht, die Untervektorraum-Axiome zu zeigen.
Deine Argumentation mit dem inversen Element kann man natürlich auch bringen, folgt aber sofort aus den gescheiterten Axiom mit dem Skalaren Produkt
Soweit ist mir das Vorgehen klar, aber könnte man hier auch damit argumentieren, dass W bzgl. der elementweisen Addition kein Inverses Element besitzt, also wenn a nicht gerade 0 ist?
Ja, könnte man
Gibt es eigentlich Fälle wo zwar die Operationen nur Elemente aus W liefern, aber die Vektorraum Axiome nicht erfüllt sind?
Da alles bis auf die inverse und neutralen elemente für alle Elemente im Vektorraum gilt, muss man auch nur das und die abgeschlossenheit überprüfen, da der rest "vererbt" wird.
Der nullvektor ist halt auch nicht in jeder teilmenge, weswegen das auch geprüft werden muss
Danke dir, dann fällt die Überprüfung des Inversen nur immer etwas unter den Tisch. Klar, das Neutrale Element wird ja ganz einfach durch die Überprüfung des Nullvektors in dem Untervektor erreicht.