Wie Transformationsmatrix im Raum der Polynome berechnen?

 - (Schule, Mathematik, lineare-algebra)

1 Antwort

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

vorab:
die defmenge sind polynome vom grad maximal n.
die wertemenge sind polynome vom grad maximal n.
ich würde die selbe basis benutzen wie du.
übrigens ist (p*x)'=p'*x+p*1 am Rande.

mal überlegen:
sagen wir p hat die potenzen 0 bis n.
dann hat p*x die potenzen 1-(n+1).
dessen ableitung wiederum hat potenzen 0-n.

also hat f(p) ebenso die potenzen 0 bis n.
Deshalb müsstest du für Wertemenge und Bildmenge die selben Basen benutzen können, nämlich die von dir erwähnte.

die matrix zu bestimmen ist keine allzu schöne aufgabe:
Seien ei (e0 bis en naheliegenderweise) die basisvektoren.
dann willst du nun das bild von e0 als linearkombination der basisvektoren darstellen.
also f(e0)=f(1)=f(x^0)=(x^0*x)'
=(x^(0+1))'=(x^1)'=x^0

allgemein f(ei)=f(x^i)=(x^(i+1))'=x^i=e^i

demnach ist
f(e0)=e0==1*e0+0*e1+...+0*en
f(e1)=e1=0*e0+1*e1+...+0*en
usw.

Schreibt man nun die koeffizientenvektoren hintereinander in eine Matrix M, so ist M einfach die Einheitsmatrix.

Weil halt jeder Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird :-)

Mir scheint bei der Ableitung ging ein Faktor i+1 verloren.

1

Hi,

ein kleiner Fehler bei der Ableitung, du hast einen Faktor vergessen:

f(ei) = (x^i • x)' = ( x^(i+1) )' = (i+1)•x^i

M ist also nicht die Einheitsmatrix, d.h.

f(1) = (1•x)' = 1
f(x) = (x•x)' = (x²)' = 2x
f(x²) = (x² • x)' = (x³)' = 3x²
...
f(xⁿ) = (xⁿ • x)' = (xⁿ⁺¹)' = (n+1)xⁿ

Gruß

1
@eddiefox

ups, das stimmt :-)
Dann steht auf der Diagonalen eben 1/(i+1) wobei i die zeilen/spaltenzahl ist :-)
ergo 1/2 bis 1/(n+1) auf der diagonalen

2

Vielen Dank! Hat mir sehr geholfen

1

Was möchtest Du wissen?