Transformation Matrix und Punkt berechnen?

Hi ihr Lieben,

ich lerne gerade einige Grundlagen zu Vektoren und Matrizen. In dieser Aufgabe soll ich :

Die Vektoren ⃗x1 = (1,1) und ⃗x2 = (1,−1) bilden eine orthogonale Basis des

R2. Das Ergebnis einer Transformation des Punktes (u,v) in diese Basis lautet

(30,−14). Berechnen Sie u und v.

Ich habe mir folgendes überlegt:

1u + 1v = 30

1u-1v=-14

u=8

v=22

Ich habe einfach ein GLS aufgestellt und die jeweiligen Lösung berechnet?

Ist das so richtig?

1 Antwort

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

indiachinacook

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Naturwissenschaft

31.10.2021, 21:39

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Angabe richtig verstehe — da steht

Das Ergebnis einer Transformation des Punktes (u,v) in [die von x⃗₁, x⃗₂ aufgespannte Basis] lautet (30, −14).

und ich lese das als: Der Vektor mit den Koordinaten (u,v) bezüglich der Basis e⃗= (1,0) und e⃗₂=(0,1) hat in der Basis x⃗₁=(1,1) und x⃗₂=(1,−1) die Koordinaten (30, −14). Wenn diese Lesung richtig ist, dann stimmt Deine Rechnung leider nicht.

Denn dann kann man den Vektor ja einfach in Komponenten anschreiben, weil jeder Vektor gleich der Summe aus den Produkten Koordinate mal Basisvektor ist:

(u,v) = u⋅x⃗₁ + v⋅x⃗₂ = 30⋅(1,1) + −14⋅(1,−1) = (16, 44)

und das ist auch schon die Lösung. Das können wir machen, weil in dieser Gleichung alle Vektoren bezüglich derselben Basis (nämlich der kartesischen Einheitsbasis e⃗₁ und e⃗₂) gegeben sind.

Was Du dagegen berechnet hast, ist das Umgekehrte: Welche Koordinaten bezüglich x⃗₁ und x⃗₂ hat der (bezüglich e⃗₁ und e⃗₂ gegebene) Vektor (30,−14)?

Aber warte sicherheitshalber, bis jemand kommt, der die in Deiner Aufgabenstellung verwendete Terminologie gewöhnt ist und nicht raten muß.

Mila1sweet

Fragesteller

31.10.2021, 21:53

Danke. Das hat mir schon sehr geholfen, ich werde aber sicherheitshalber nochmal die jeweilige Lehrkraft fragen.

Siehe Bild, ich habe eine Orthonormalbasis und mir wurde ein Vektor gegeben. Wie genau kann ich jetzt die orthogonale Projektion davon auf die Basis bestimmen?

(Meine Vermutung: Vlt einfach die Orthogonale Projektion von U4 auf beide Vektoren der Basis bilden?)

...zur Frage

orthogonale Projektion des Punktes auf eine Ebene?

Berechnen Sie die orthogonale Projektion des Punktes x = (−7 5 9) auf die Ebene E des R^3 mit E : −2x1 − x2 + 2x3 = 0

indem man durch x eine Gerade legt, die senkrecht auf E steht, und diese mit E schneidet.

weiss jemand wie man das machen kann?

...zur Frage

Unterschied Tensor und Matrix?

Hallöchen,

wie man am Titel schon sieht, habe ich mich gefragt, was der Grund ist, weswegen man eine eigene Definition für den "Tensor" als mathematisches Objekt eingeführt hat. Immerhin ist der Tensor in der 0.-Stufe ja ein Skalar, in der 1.-Stufe ein Vektor und in der 2.-Stufe eine Matrix. Es gibt ja auch noch höhere Stufen, aber wieso gibt es dann einen Tensor 2.-Stufe, wenn man auch einfach "Matrix" dazu sagen kann.

Ich weiß, dass der Definition eines Tensors auch einer gewissen Transformationseigenschaft zugrunde liegt. Ist aber diese Transformation nicht auf jeden Vektor/Matrix anwendbar? Was wären denn dann Beispiele von Vektoren/Matrizen, die kein Tensor sind?

Ich hoffe das alles ist verständlich :) Vielen Dank schonmal!

...zur Frage

Bestimmen Sie die Koordinaten des fehlenden Punktes (Vektoren)?

Guten Tag!

Ich verstehe leider nicht, wie ich hier den fehlenden Punkt berechnen oder herausfinden kann…

Könnte mir jemand bitte weiterhelfen? :)

...zur Frage

Erklärung zu den Pauli Matrizen?

Hallo liebe Community,

ich beschäftige mich gerade mit den Pauli Matrizen und habe da ein paar Verständnisfragen.

Die Pauli Matrizen sind ja folgende:

und dazu nimmt man ja meistens noch die Matrix

Dabei ist dann ja

und

Es steht auf mehereren Websiten, dass die Paulimatrizen mit der Einheitsmatrix Sigma0 eine "Basis des 4-dimensionalen rellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2 x 2 Matrizen" bildet und auch eine "Basis des 4-dimensionalen komplexen Vektorraums aller komplexen 2 x 2 Matrizen" bildet.

Was genau ist damit jetzt gemeint?

Also den Fakt, dass die Paulimatrizen eine Basis zu einem reellen Vektorraum und zu einem komplexen Vektorraum bilden, habe ich mir folgendermaßen erklärt: Um zu prüfen, dass etwas eine Basis ist, muss man ja schauen ob die Vektoren in B sozusagen linear unabhängig sind. (Wir gehen mal davon aus, dass die Vektorräume jeweils endlich erzeugte Vektorräume sind).

Da habe ich mir dann gedacht, dass man ja sozusagen einfach alle 4 Matrizen so umformulieren kann, dass es komplexe Zahlen sind, also einfach so:

Und da ja schon gesagt wurde, dass die eine Basis bilden, heißt, dass das die linear unabhängig sind und da jetzt alle Matrizen Element der Komplexen Zahlen 2 x 2 sind bilden sie halt eine Basis für den Vektorraum der komplexen Zahlen.

Dies macht man dann auch noch für die reellen Zahlen. Dort wandelt man die Matrix Sigma2 in eine Relle Matrix um. Man sagt einfach i = 1 und -i = -1. Und da dort dann alle Matrizen Element der Reelen Zahlen 2 x 2 sind bilden sie halt eine Basis für den Vektorraum der reellen Zahlen.

Das war ersteinmal mein Erklärversuch dafür, dass die Paulimatrizen eine Basis für den reelen Vektorraum bilden als auch für den komplexen Vektorraum. Ich würde mich sehr freuen falls mir jemand erklären könnte inwiefern mein Versuch richtig ist.

Die Grundlage meiner Idee war folgendes:

Auf jeden Fall muss es irgendwas damit zu tun haben, dass eine Komplexe Zahl so aufgebaut ist: a+b(i) mit a,b Element der Reelen Zahlen.

Meine konkreten Fragen sind also:

Wie kann es sein, dass die Paulimatrizen eine Basis für den reellen Vektorraum bilden und eine Basis für den komplexen Vektorraum?
Was bedeutet Zitat "die Paulimatrizen bilden eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2 x 2 Matrizen"?

Ich würde mich sehr über Antworten freuen :)

...zur Frage

Mathematik Vektoren Punkt D im Quadrat berechnen?

Mathematik Vektoren Punkt im Quadrat Berechnen?

Hey!

Ich brauche etwas Hilfe um einen Punkt und eine Zusätzliche Koordinate eines weiteren Punkten eines Quadrates im R3 zu berechnen! Das Quadrat ist die Grundfläche einer quadratischen, regelmäßigen Pyramide!

Gegeben ist:

Punkt A (x/y/z)

Punkt B (x/y/z)

Punkt C (x/_/z) Y KOORDINATE FEHLT

Gesucht: Y-Koordinate des Punktes C und der Punkt D.

Wie gehe ich am besten vor? Habe absichtlich keine Zahlen geschireben, da die Frage aufgrund von möglichem Betrug bei HÜ, Schularbeit etc gesperrt wird!

...zur Frage

Wie bestimmt man die Koordinate D?

Hallo,

ich brauche etwas Hilfe bei den Mathe Hausaufgaben.. die Aufgabenstellung lautet: „Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes D so, dass vier Punkte ein Parallelogramm bilden“ (Thema: Vektoren). Wie soll man das jetzt berechnen? Danke im Voraus!

...zur Frage

Basis eines Dreiecks anhand Winkel und Umfang berechnen?

Hallo.
Mein Lehrer hat uns ein Arbeitsblatt zum Sinus und Cosinus gegeben.
Bei der einen Textaufgabe:
"Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Spitzenwinkel von 30 Grad und einen Umfang von 30 cm. Wie lang ist die Basis dieses Dreiecks?"
komme ich allerdings nicht weiter... Ich verstehe nicht wie ich die Seitenlängen nur anhand der Winkel und des Umfangs berechnen soll...
Das Ergebnis, das er dazu geschrieben hat, ist 6,2 cm.
Wie sollte ich vorgehen?
Danke im Voraus!

...zur Frage

mathe test vektoren?

hallo ich schreibe morgen einen test über vektoren und das sind folgende aufgaben kann sie mir wer bitte einmal vorrechnen

Gegeben sind die Vektoren à:

.b=

und X:

1.1 Zeigen Sie, dass die Vektoren a , b und & nicht komplanar sind
Was bedeutet das anschaulich gesehen für diese Vektoren?
1.2 Stellen Sie den Vektor § als Linearkombination der Vektoren a. b und & dar.

2. Gegeben ist das ebene Viereck ABCD mit A(1|2|4), B(-1|-2|10) . C(4|-1|10) und D(9|3|5).

2.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes S des Vierecks ABCD
2.2 Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Punkt P(0|3|2) auf der Strecke AC liegt.
2.3 Die Gerade durch die Punkte A und C schneidet die &-Ebene im Punkt So
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten dieses Punktes.

3. Zeigen Sie, dass die Geraden g und h parallel sind. Untersuchen Sie, ob sie sogar identisch sind

...zur Frage

Lot und Orthogonale Projektion eines Vektors zu einer Ebene berechenen?

Hallo liebe Community,

ich muss das Lot und die Orthogonale Projektion eines Vektors v = (3, 1, 4) zu einer Ebene mit den Spannvektoren (1, 3, -1) und (1, 1, -1) berechnen.

Ich muss ehrlich gestehen, dass ich nicht so wirklich weiß wie ich das berechnen soll. Ich habe in meinem Skript dazu ein paar Sachen gefunden:

Sei U Teilmenge R^n ein Untervektorraum und v Elemente R^n. Sind p,l Element R^n mit p Element U, l Element U^ (orthogonalzeichen), v=p + l. Dann ist p die orthogonale Projektion auf U und l = v-p das Lot von v auf U.

Das ist ja schonmal ganz gut, ich habe einfach gedacht, dass meine Ebene sozusagen U ist und mein p ist der gegebene Vektor v. Aber irgendwie hat, dass dann doch nicht so viel Sinn ergeben.

Meine erste Idee war ansich, einfach das Lot mittels Lotfußpunktverfahren zu berechnen, wie man es aus der Schule kennt. Also die Ebene auspannen, den gegeben Vektor als Punkt auffassen und dann kann man ja das Lot berechnen ansich, aber ich weiß nicht so wirklich ob das hier so gefordert ist und ob das überhaupt so richtig ist. Das gute an der Idee wäre glaube ich, dass ich bei dem Verfahren ja auch den Fußpunkt berechne und der müsste dann ja die orthogonale Projektion auf die Ebene sein.

Ich habe in einem anderen Skript auch noch eine weiter Gleichung gefunden um das Lot bzw. Orthogonale Projektion zu berechnen, aber da rechnet man nur mit zwei Vektoren und da ich ja eine Ebene habe weiß ich nicht so recht ob mir die Gleichungen da weiterhelfen.

Es würde mir wirklich sehr weiterhelfen wenn mir jemand erklären könnte wie ich das Lot und die Orthogonale Projektion berechne.

Ich wünsche euch einen schönen Abend :)

...zur Frage

Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Matrizen?

Guten Tag, ich muss eine Aufgabe für mein Studium lösen bei welcher ich den Winkel(im abstrakten Sinne) zwischen Zwei Matrizen, welche als Element eines Vektorraums aufgefasst werden, berechnen soll. Ich verfüge zwar über die Kenntnis wie man den normalen Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet, allerdings nicht bei Matrizen. In der Aufgabenstellung wurde die Formel für diese Berechnung gegeben, allerdings verstehe ich manche Terme darin nicht. Ich werde als Bilder die Winkelberechnung und die Aufgabe selbst anfügen. Wenn mir jemand erklären könnte wie das funktioniert, wäre ich diesem sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen

...zur Frage

Orthogonale Komplement berechnen?

Gegeben seien folgende Räume:

U= Lineare Hülle des Vektors (1,1,1)

und V= Lineare Hülle der Vektoren (1,0,0) und (0,1,1)

Wie lautet das Orthogonale Komplement von U c V?

Als Lösung sollte die Lineare Hülle des Vektors (-2,1,1) rauskommen, wenn ich es aber ausrechne komme ich auf die Lineare Hülle der Vektoren: (-1,1,0),(-1,0,1) Könnte mir jemand erklären, wie man auf die richtige Lösung kommt?

...zur Frage

Mathematik Frage xD (Hab keine Ahnung xD?

Es hat etwas mit Vektoren zu tun. Es gibt vier Punkte ABCD die ein Rechteck bilden. Man muss die fehlende Koordinate des Punktes C herausfinden und die Koordinaten des Punktes D und die Längen der Seiten des Rechtecks berechnen. gegeben sind die Punkte A=(-3/1), B=(0/-2), C=(x/-1). Ich bedanke mich jetzt schon für die kommenden Antworten.

...zur Frage

Wie berechne ich das orthogonale Komplement?

Hallo, bereite mich gerade auf die Prüfung vor, komme aber nicht weiter.

Ich habe einen Unterraum W im R³, der von den Vektoren x=(7/5/6) und y=(1/-2/1) aufgespannt wird. Jetzt wollte ich das orthogonale Komplement zu W berechnen. HAbe schon in anderen Foren geschaut, aber irgendwie steige ich da nicht durch. Kann mir jemand eine Anleitung geben, wie man das Komplement berechnet? (am besten für Dummies =) )

Vielen Dank schon mal im Voraus.

...zur Frage

Was möchtest Du wissen?

Deine Frage stellen