Orthogonale Projektion - Formel richtig?

Servus,

um die orthogonale Projektion von Vektor x auf Vektor y zu berechnen, gilt doch die Formel:

Skalarprodukt von x * y / |y|

richtig?

Bin mir nicht sicher, ob ich das richtig hergeleitet habe.

Answer 1

[psychironiker]

Ich stelle mir das einfach vor:

In einem Einheitskreis nimmt der "Zeiger" x0 mit dem Vektor y0 = (1,0) den Winkel α ein.

Die orthogonale Projektion p von x0 auf y0 ist

• p = cos(α)* y0

Ist x kein Einheitsvektor, sondern hat die Länge |x|, so ist x = |x| * x0, so ist die Projektion entsprechend länger, also

• p = |x| * cos(α) * y0.

y kein Einheitsvektor, sondern hat die Länge |y|, so lässt sich y0 mit y / |y| bestimmen, also:

• p = ( |x| / |y| ) * cos(α) * y;

mit cos(α) = <x,y> / (|x| * |y| ) (wobei <x,y> ein Skalarprodukt ist) kannst du rechnen:

p = ( |x| / |y| ) * ( <x,y> / (|x| * |y| ) ) * y

= ( <x,y> / (|y|² ) ) * y

= y • <x,y> / y²,

wie das auch bei Ellejolka steht.

Answer 2

[Ellejolka]

also im Link unter orthogonale Proj. von Vektor w auf vektor r steht die Formel

((w•r) / r² ) * r dann für die Länge den Betrag der Lösung (und • ist Skalarprodukt)