Wie berechne ich das Skalarprodukt mit einem unbekannten Vektor und drei Koordinaten?

6 Antworten

Hallo,

das Problem in deiner Frage ist, dass im dreidimensionalen Fall es zu einem gegebenen Vektor v den orthogonalen Vektor nicht gibt, sondern eine (bis auf Parallelität) orthogonale Ebene.

Das bedeutet, dass es zwei linear unabhängige, zu v orthgonale Vektoren gibt  (die eine Ebene aufspannen, deren Normalenvektor v ist). Diese zwei Vektoren sind auch nicht eindeutig, da sie, beide einer Drehung mit gleichem Winkel unterzogen, die in der Ebene stattfindet, zu v orthogonal bleiben.

Du kannst mit den Koordinaten von v(a;b;c) leicht eine Ebenengleichung einer zu v orthogonalen Ebene aufstellen: ax+by+cz+d=0 ist eine solche Ebene mit Normalenvektor v.

Wählst du in dieser Ebene zwei beliebige Punkte A und B mit A≠B , so ist der Vektor AB zu v orthgonal. Dann musst du noch einen Punkt C der Ebene finden, so dass AC zu AB orthogonal ist. So hast du zwei zu v orthogonale Vektoren bestimmt.

Zu erwähnen sei noch ein Standardverfahren, mit dem aus einer beliebigen Basis eines Vektorraums V mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis konstruiert werden kann. Es ist das Verfahren von Gram-Schmidt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

Das Verfahren lernt man aber erst auf der Uni kennen. (Es sei denn im Mathte-Leistungskurs im ℝ³, falls sich das Programm geändert hat?).

Gruß

sagen wir mal, du hast in 2d die vektoren (1,2) und (a,b), aka den 2. vektor kennst du nicht und willst du nun bestimmen.

das skalarprodukt gleich 0 ist dann

1a+2b=0

d.h. jeder vektor (a,b) der die gleichung erfüllt, ist orthogonal zu (1,2).

nun gibt es viele möglichkeiten, pssende as und bs zu wählen.

eine davon ist auch dein erwähntes

(2,-1)

as ist aber beileibe nicht der einzige vektor, der in frage kommt; tzumindest vom betrag her.

jeder wie auch immer geartete vielfache davon ist ebenso passend.

nun zu 3d:

sei (1,2,3) dein erster vektor.

sei (a,b,c) dein 2. vektor der orthogonal zum ersten sein soll.

dann ist:

1*a+2*b+3*c=0

einfach irgendwelche zahlen für a und b raussuchen, mit der gleichung c finden.

dann kennste einen von unendlich vielen vektoren, die orthogonal zu (1,2,3) sind.

joa, nun haste also 2 vektoren.

fehlt noch einer, nennen wir ihn (d,e,f).

erfüllen muss der:

1*d+2*e+3*f=0

UND

ad+be+cf=0

LGS mit 3 unbekannten, 2 gleichungen:

bis auf einen parameter bestimmbar.

setzt zum beispiel d=5 und löse nach e und f auf.

zack, haste deine 3 vektoren, die orthogonal zueinander sind.

Du willst es einfacher?

Nachdem du deinen 2. vektor gefunden hast, kannste auch einfach

das kreuzprodukt von vektor 1 und 2 als dritten vektor nehmen.

der ist dann automatisch zu den ersten beiden.

bei 4d und höher gehste analog vor, entweder das lgs mit den skalarprodukten lösen.

kreuzprodukt kannste da nicht mehr nehmen da das nur in 3d definiert ist.

jedenfalls gibt es in 2d schon zu einem vektor unendlich viele andere vektoren die orthogonal dazu sind.

in 2d unterscheiden die sich nur in der läng, in 3d auch in der ausrichtung und orientierung.

kreuzprodukt kannst da lei

Hallo,

im Prinzip genauso, nur daß Du eine der drei Komponenten auf Null setzt.

Aus (1/2/3) z.B. machst Du (-2/1/0)

Welche zwei Komponenten Du vertauschst und welche Du auf Null setzt, ist egal. Wenn eine Komponente bereits Null ist, vertauschst Du die beiden anderen und wechselst bei einem der beiden das Vorzeichen.

Herzliche Grüße,

Willy

Und was ist wenn ich schon einen Vektor  (-1/0/0) habe? Weil einen Nullvektor kann ich ja nicht machen, oder?

0
@alienaxx

Dieser Vektor ist parallel zur x1-Achse. Jeder Vektor, der parallel zur x2- oder x3-Achse ist, also etwa (0/1/0) oder (0/0/1) ist dazu orthogonal.

0
@Willy1729

oder der eine linearkombination aus beiden ist, ganz genau genommen;

d.h. im prinzip ist jeder vektor in der x2 x3 ebene zu (-1/0/0) orthogonal.

0

Was möchtest Du wissen?