Äußere direkte Summen und Produkte?
Hallo!
Folgende Definition wird mir nicht 100%ig klar:
[Definition: Sei V eine Menge, dann nenne ich |V| die Anzahl der Elemente in V]
So ich hab das Produkt der Vektorräume V_i schon fasst verstanden... denke ich... Ich nehme jeweils aus jedem dieser Vektorräume V_i ein Element bzw. ein Vektor raus. dann habe ich |I| viele Vektoren, welche ich alle zusammen fasse in eine Familie. Das mach ich dann |V_i| mal würde ich sagen und habe dann eben |V_i| Familien, welche eben dann das Produkt der Vektorräume V_i bilden. Ist da soweit richtig verstanden worden? Was passiert, wenn die V_i untereinander nicht gleichmächtig sind? Muss nicht noch bedingt sein, dass die V_i untereinander jeweils isomorph zueinander sind?
Als Beispiel nehme ich mal die reellen Zahlen R=V_1=V_2=...=V_(p-1) mit p<oo und irgendeinen endlichen Körper, ich nenne ihn mal W und nehme W^3:=V_p mit |W|<p. Jetzt nehme ich für das Beispiel eine Indexmenge I=1,...,p, also |I|=p. Was nun? Bilde ich nun das Produkt dieser drei Vektorräume, gehen mir doch irgendwann die Vektoren aus V_p aus... Nun gibt es für mich drei Möglichkeiten:
1und2) Es gibt ein P aus I mit P<p oder genauer sogar P=|W|, sodass ab diesem P (bzw. sodass für alle i aus I mit i>P)...
a) ... die Familien nur noch aus p-1 Vektoren gebildet werden. (also keine mehr aus W^3=V_p)
b) ... keine Familien mehr gebildet werden. Also nicht alle Elemente der Vektorräume V_1,...,V_p für die "Familienbildung" genutzt werden.
3) Ich liege komplett falsch und habe alles falsch verstanden. Kann sehr gut passieren....
Wäre super, wenn jemand mich etwas aufklären könnte. Ich verstehe eben nicht ganz genau, was passiert, wenn die Vektorräume, dessen Produkt ich hier bilden will, nicht die gleiche Anzahl an Elementen haben. Bzw. was genau passiert, wenn einer dieser Vektorräume eine kleiner Anzahl an Elementen hat, als die Anzahl an Vektorräumen von welchen wir das Produkt bilden wollen.
VIELEN DANK UND LIEBE GRÜßE!
1 Antwort
Die Dimensionen der Vektorräume sind vollkommen egal. Du multiplizierst einzelne Vektoren nicht miteinander, sonder schreibst sie einfach nebeneinander.
Der selbe Vektor kommt mehrmals als Eintrag einer der Vektoren in deinem äußerem Produkt vor.
Ist also ein Vektor aus einem der Vektorräume V_i in mehr als nur einer der Familien vertreten? Dann macht für mich aber die Definition kein Sinn. Da steht {(v_i)_(i aus I) ; v_i aus V_i}. Für mich heißt das, dass je ein Element aus jedem V_i genommen wird und in eine Familie verpackt wird. Danach sind diese Vektoren, welche in der ersten Familie sind nicht mehr benutzt um die nächsten Familien zu bilden... bilde ich also das Produkt von den Reellen Zahlen über i=1,...,n habe ich nach meiner Auffassung eine Menge von Familien. In diesen Familien ist dann n mal die GLEICHE zahl enthalten.... wenn es nicht so richtig ist, ist doch die Definition falsch...