Beweisen, dass eine Menge ein Untervektorraum ist?
Hallo liebe Community,
ich soll beweisen, oder widerlegen, dass folgende Mengen Untervektorräume der K-Vektorräume sind.
Eine Menge U ist ja immer dann ein Untervektorraum wenn folgende vier Fragen mit ja beantwortet werden können:
- Ist U eine Untermenge von V?
- Ist der Nullvektor von V auch in U enthalten?
- Wenn v, w Element U zwei beliebige Vektoren aus U sind, ist dann auch v+w stets wieder in U?
- Wenn v Element U ein beliebiger Vektor und x Element K eine beliebige Zahl ist, ist dann auch x*v wieder in U?
Hier bei diesem Beispiel habe ich die 4 Fragen beantworten können und bewiesen, dass die Menge U ein Untervektorraum von V ist. Ist dies korrekt? Das Beispiel fand ich noch nicht so schwer.
Ergänzung: Nach ein bisschen Nachdenken ist mir aufgefallen, dass ich besonders beim Beantworten der Frage 3 und 4 mit nicht mehr sicher bin, ob dann beim Ergebnis auch die Einschränkung x+y=z zutrifft.
Ergänzung 2: Nach weiterem Nachdenken ist mir aufgefallen, dass die Einschränkung eigentlich immer erfüllt wird auch wenn ich z.B. zwei Vektoren z.B.: (x, y, z) + (a, b, c) addiere. Da ich sage, dass diese beiden Vektoren Elemente von U sind wird ja damit auch gesagt, dass x+y = z und a + b = c. Und wenn ich die beiden Vektoren addiere, dann komme ich ja auf (x+a,y+b, z+c). Also ist ja die Einschränkung erfüllt oder?
Bei diesem Beispiel habe ich auch bewiesen, dass U ein Untervektorraum von V ist. Ist dies korrekt? Bei diesem Beispiel ist ja der einzige Vektor in U (0,0) oder? Da die Einschränkung hinten ja nur für x = 0 und für y = 0 erfüllt ist, oder?
Bei diesem Beispiel weiß ich leider nicht wie ich da ran gehen soll, da ich leider noch nicht so viel mit den komplexen Zahlen gearbeitet habe. Aber rein intuitiv würde ich behaupten, dass dies kein Untervektorraum von V ist. Aber eine Erklärung hierzu würde mir sehr weiterhelfen.
Bei diesem Beispiel geht es ja um die Paritäten und um die vier Fragen zu beantworten mit der Einschränkung kann ich ja einfach alle möglichen Kombinationen aufschreiben und überprüfen ob ich mit diesen Kombinationen alle vier Fragen beantworten kann, oder?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand ein bisschen was dazu erklären könnte und mir sagen könnte ob meine Gedankengänge zu den jeweiligen Beispielen korrekt sind, oder wenigstens schonmal in die richtige Richtung gehen. Bei dem Beispiel mit den Komplexen Zahlen wäre ich sehr dankbar für eine genauere Erklärung wie ich das dort rechne.
2 Antworten
Die ersten beiden und die letzte Aufgabe hast du richtig gemacht bzw. einen richtigen Ansatz.
Zur dritten: Ok, du vermutest, dass das kein Unterraum ist. Das heißt ja, dass (mindestens) eines der Axiome nicht erfüllt sein muss. Hast du eine Vermutung, welches?
Ok, wenn Axiom 3 nicht erfüllt ist, muss es ja zwei Paare (x1, y1) und (x2, y2) in U geben, sodass (x1, y1) + (x2, y2) nicht in U liegt.
Wir müssen also nach einem konkreten Beispiel für solche zwei Paare suchen. Dafür müssen wir generell erst einmal einige Paare in U finden...
Kannst du zunächst einfach nur einige Beispiele für Paare (x,y) nennen, die in U liegen?
(0+0i,0+0i)
(1+0i,0+i1)
Das wären dann ja sozusagen dann die Paare:
(0,0) und (1,i)
Diese beiden Paare erfüllen auch die Bedingung x^2+y^2=0
Weil 0^2+0^2=0 und 1^2 + i^2 =0.
Weil i^2 = -1.
Schön :) Aus Symmetriegründen schenke ich dir zusätzlich den Vektor (i, 1).
Nun berechne mal die Summen für je zwei dieser Vektoren. Ist die Bedingung für U auch immer für die Summen erfüllt?
So wenn v = (0+0i, 0+0i) und w = (1+0i, 0+1i)
Dann ist v + w = ((0+0i)+(1+0i), (0+0i) + (0+1i))
(0+0i)+(1+0i)=1+i(0)=1
(0+0i)+(0+1i)=0+i(1)=i
v+w=(1,i)
(1,i) ist aber wieder ein Element von U.
Mh. Habe ich alles richtig gerechnet?
Ja, (0,0) + (1,i) = (1,i) ist ebenfalls in U. Diese Summe hat uns also nicht weitergebracht.
Allgemein: Wenn w in U liegt, ist (0,0) + w = w ein Element von U - insofern bringen Summen mit (0,0) uns eher nicht weiter. Wie siehts mit den Summen
(1,i) + (1,i),
(1,i) + (i,1),
(i,1) + (1,i) und
(i,1) + (i,1) aus?
Nun v=(1+i0,0+i0) w=(0+i1,1+i0)
v+w = (1+i(1),1+i(0))
Oh dafür ist die Bedingung aber nicht erfüllt oder?
v=(1,i) w=(1,i)
v+w=(2,i+i)
Das liegt auch nicht in U. Obwohl ich mir nicht so sicher bin ob ich die Addition hier Korrekt durchgeführt habe, da ich das jetzt ein bisschen schnell im Kopf gemacht habe. Aber ich habe auf jeden Fall schoneinmal das Thema allgemein sehr viel besser verstanden und weiß auch was ich bei der Aufgabe machen muss.
Also v+w = (2,i+i) stimmt schon, aber man würde wohl eher (2,2i) schreiben ;)
Jetzt musst du mir aber erklären, wieso das nicht in U liegt.
Oh ja da habe ich irgendwie was komisches gemacht, mit dem v.
Nun v= (0+i(1), 1+i(0)) und w = (1+i(0), 0+i(1))
v+w = ((0+i(1))+(1+i(0)),(1+i(0))+(0+i(1)))
(0+i(1)) + (1+i(0)) = 1 + i(1)
(1+i(0)) + (0+i(1)) = 1+i(1)
v+w = ((1+i(1)),(1+i(1)))
Und das liegt auch nicht in U.
Ok, v + w = (1+i, 1+i). Auch hier die Frage: Warum liegt das nicht in U? Also kannst du das rechnerisch zeigen?
Okay ich hänge immer etwas hinterher weil ich viel Zeit zum rechnen brauche.
U hat ja die Bedingung x^2 +y^2 =0.
So unser x = 2
Also 2^2=4
Unser y = 2i
(2i)^2 = (0+i(2)) × (0+i(2)) = (0-2×2) +i(0+0)
Also (2i)^2 = -4
Die Bedingung ist also gerade 4+(-4)=0
Oh okay es liegt doch in U.
Oh okay es liegt doch in U.
Jap, (1,i) + (1,i) und (i,1) + (i,1) helfen uns leider auch nicht weiter :)
x=1+i
y=1+i
(1+i(1))^2 = (1+i(1))×(1+i(1)) = (1-1)+i(1+1)= 0 + i(2)
Also ist x^2 = 2i
Und y^2 = 2i
(0+i(2))+(0+i(2))=(0)+i(4)
Okay aber 4i liegt nicht in U.
Also für v+w=(1+i,1+i)
Okay aber 4i liegt nicht in U.
Du meinst das richtige, aber die Begründung lautet eigentlich:
x² + y² = 4i, also ist nicht x² + y² = 0, also ist (x,y) kein Element von U.
Na bitte, da haben wir doch unser Gegenbeispiel gefunden :) Die Summe zweier Elemente von U liegt nicht immer in U, also ist U kein Unterraum.
Wenn du irgendwann Zeit haben solltest, könntest du zur Übung trotzdem prüfen, ob die anderen 3 Axiome vllt erfüllt sind, aber zum Lösen der Aufgabe ist das nicht unbedingt nötig.
Okay, das mache ich auch noch gleich :) Vielen, vielen Dank. Du hast mir super weitergeholfen und mir mit kleinen Tipps und schrittweisen Aufgaben sehr weitergeholfen. Dadurch verstehe ich komplexe Zahlen jetzt auch viel mehr. Freu dich schonmal auf deinen Stern, den ich dir leider erst morgen geben kann.
Hi MagicalGrill,
da du mir so gut geholfen hast hoffe ich, dass du mir vielleicht auch bei meiner heutigen Frage helfen kannst. Dort geht es um ein Gleichungssystem, mit drei Gleichungen und 4 Variablen. Und ich weiß nicht ganz wie ich sowas rechnerisch also ohne Taschenrechner lösen kann. Vielleicht kannst du mir ja dabei weiterhelfen.
Da fehlt noch in der liste, dass zu jedem element das additiv inverse Drin sein muss. Aber auch so hast du bei denen, wo du es geschaft has recht.
Beim vierten kannst du bei der Addition einen gegenbesipiel konstruieren. (Tipp, auch die 0 ist eine gerade zahl).
Beim dritten kannst du dier überlegen wie man die bedingung anders ausdrücken kann.
Laut Prof. müssen wir nur diese vier Eigenschaften nachweisen, damit etwas ein Untervektorraum ist.
Okay, also das vierte einfach mittels Gegenbeispiel widerlegen.
Beim dritten habe ich leider echt keine Idee, wie ich die Bedingung anders ausdrücken kann. Wie gesagt, ich habe echt noch nicht viel mit komplexen Zahlen gearbeitet.
Aber mein viertes Beispiel ist doch auch ein Untervektorraum oder?
Aber es geht doch um den Körper F2? Und da ist es doch F2 = {0,1}
Da gibt es doch überhaupt keine 2
Die möglichen Vektoren sind dann doch nur (0,0,0,0);(1,1,1,1);(1,1,0,0);(1,0,1,0);(1,0,0,1);(0,1,1,0);(0,1,0,1);(0,0,1,1)
Und egal in welcher Kombination ich diese addiere es kommt immer wieder ein Vektor raus, der in U liegt.
Ich vermute dass entweder das Axiom 3 nicht stimmt oder das Axiom 4. Meine Vermutung beruht darauf, dass ja in den Komplexen Zahlen die Addition und die Multiplikation anders definiert ist als z.B. in den reellen Zahlen.
Ich glaube auch, dass die Einschränkung hier, eine Rolle spielt also x^2+y^2=0. Ich glaube, dass diese Bedingung bei Axiom 3 oder bei Axiom nicht erfüllt wird.
Aber ich kann meine Theorie leider nicht mittels Rechnungen beweisen.
Ich muss mich das Wochenende dringend einmal intensiv mit komplexen Zahlen beschäftigen. Leider habe ich dieses Gebiet nicht so gut verstanden und jetzt fehlt mir ein bisschen die Zeit, mich lange mit Wiederholung zu beschäftigen, aber das Wochenende werde ich das alles nocheinmal durchgehen.