Menge aus Tupeln: Tupel mit gleichen Elementen entfernen?

Nehmen wir an, wir haben eine Menge A, welche aus einer beliebigen Anzahl Tupeln mit jeweils einer beliebigen Anzahl an Komponenten besteht. Die Komponenten können jedoch zwischen den einzelnen Tupeln durchaus gleich sein. Wie kann man aus dieser Menge nun formell eine Menge B bauen, in welcher nur Tupel mit einzigartigen Elementen vorhanden sind?

Zur Veranschaulichung, nehmen wir an, wir haben die folgende Menge A:

$A=\left\{\left(1,2\right),\left(3,4\right),\left(4,5,6\right),\left(7,8\right)\right\}$ Das dritte Tupel hat genauso wie das zweite Tupel die 4 als Komponente. Wie kann man allgemein, zum Beispiel in intensionaler Schreibweise, daraus die Menge B bauen, sodass in diesem Beispiel

$B=\left\{\left(1,2\right),\left(3,4\right),\left(7,8\right)\right\}$ oder auch (ist für den eigentlichen Anwendungszweck egal):

$B=\left\{\left(1,2\right),\left(4,5,6\right),\left(7,8\right)\right\}$ ?

Ich hoffe, es ist verständlich, worauf ich hinaus will. Ich hab versucht, mir da in intensionaler Schreibweise irgendwas zu reimen, hab aber einen Knoten im Kopf. Ich hatte irgendwas stehen mit:

$B\ =\ \left\{a_i\ |\ a_i\in A,\ x_j\in a_i,\left(x_j\notin a_{i-1}\text{ und ... und }x_j\notin a_{i-n}\right)\right\}$ aber das sieht mir irgendwie nicht richtig aus. Ich will quasi ausdrücken "Nehme jedes Element ai aus A, wobei xj Element/Komponente in ai ist und xj nicht in ai-1, ai-2, ..., ai-n vorhanden ist.

Answer 1

[ralphdieter]

Der Knackpunkt steckt hier:

oder auch (ist für den eigentlichen Anwendungszweck egal)

Du kannst dieses „egal“ nicht in einer Definition für B einbauen. Ich sehe zwei Möglichkeiten, dieses Dilemma zu lösen (P(A) ist hier die Potenzmenge von A):

1. Definiere B*⊆P(A) als „alle Teilmengen von A ohne doppelte Tupelelemente“. B* ist nicht leer, also kannst Du immer ein beliebiges B∈B* auswählen.
2. Für ein wohldefiniertes B brauchst Du eine konkrete Auswahlfunktion für A. Im trivialen Fall ist A abzählbar. Dann kannst Du die Elemente aufzählen (a₁, a₂, a₃, ...) und über die Indizes eine Funktion min: P(A)\∅→A definieren. B wird dann über eine Teilfolge b₁, b₂, ... definiert mit bᵢ₊₁:=min{a∈A | a ist elementfremd zu b₁, b₂, ..., bᵢ}.

Beachte, dass „das kleinste Element von A mit einer Eigenschaft“ oder irgendeine ähnliche eindeutige Auswahl gewöhnlich nicht mehr geht, wenn A überabzählbar ist. Deine Formulierung „einer beliebigen Anzahl Tupeln mit jeweils einer beliebigen Anzahl an Komponenten“ legt das nahe.