Wie beweise ich injektivät, surjektivät und bijektivät richtig?
Folgendes Problem:
Muss ich beim Beweisen nur auf die gegebene Funktion achten und entsprechend umformen, oder muss ich auch alle vorkommende Elemente aus dem Definitionsbereich(Sprich Menge M) austesten, um zu unterscheiden, welche Art diese Abbildung entspricht.
Beispiel Aufgabe B und C
Durch umformen bekomme ich |x| = sqrt(y) raus
Muss ich dann jedes Element aus M nehmen, um schlusszufolgern, ob es bijektiv oder surjektiv ist.
2 Antworten
Du musst sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich berücksichtigen.
Da die Aufgabenstellung voraussetzt, dass es sich um Funktionen handeln, kannst du schon mal davon ausgehen, dass der Funktionsterm für jedes Element des Definitionsbereiches ein sinnvoller Ausdruck ist.
Für die Injektivität musst du untersuchen, ob man eindeutig vom Funktionswert auf das Funktions-"Argument" zurückschließen kann. Für die Widerlegung reicht ein einziges Gegenbeispiel aus, für den Beweis muss man jedes Element des Definitionsbereiches betrachten. (Immerhin kann man im Allgemeinen algebraische Umformungen verwenden, vermutlich auch hier.)
Für die Surjektivität (Abbildung "auf") musst du untersuchen, ob auch wirklich jedes Element des Wertebereiches als Funktionswert auftritt, wenn alle Elemente der Definitionsmenge eingesetzt werden. Also hier jeweils die Menge N. Es ist nicht unbedingt nötig, alle Elemente der Definitionsmenge auszuprobieren, wenn der Wertebereich schon mit weniger Elementen der Definitionsmenge abgedeckt wird.
Für die Injektivität reicht das aus.
Für die Surjektivität - bzw. ihre Widerlegung - kannst du z. B. die Elemente der Mengen zählen - die Mengen sind ja endlich. (Kannst du auch begründen, wieso?)
Ansonsten such die Urbilder von z. B. 3, 13 und 21.
Ja, es kommt auf die Elemente an. Durch einen Vergleich der Mächtigkeiten kann man schon Eigenschaften ausschließen. Den Rest muss man anhand der Elemente überprüfen.
OK, danke, also reicht bsp. bei Aufgabe A) nur die Umformung aus?
Muss ich dann alle Werte für x und y einsetzen oder kann ich einfach sagen: Sei xEM und yEN und dann die umformung hinschreiben
Fn(x)=2x+1
Fm(x)=2y+1
2x+1=2y+1
.
.
x=y