Kann mir jemand helfen diese Aufgabe bezüglich Vektorräume/Äquirel. zu verstehen?
Ich verstehe einfach nicht, was dieses "Wir setzen V/U = V/~" bedeuten soll und wie diese Operationen definiert sind. Ich habe herausgefunden, dass V/~ für die Menge der Äquivalenzklassen steht. [v]~ steht für die Äquivalenzklasse von v und die Menge besteht aus allen w€V, für die ein u€U existiert, sodass w+u=v, also:
[v]~ = {w€V | ∃u€U: w+u=v}
So, ich hab mir das jetzt einfach mal wie folgt vorgestellt: Sagen wir mal, U ist ein echter Unterraum von V und V sei jetzt einfach mal IR³. U ist jetzt einfach mal IR², also ein echter Unterraum von V, man könnte sich U also quasi wie die xy Ebene vorstellen im IR³. Jetzt sind zwei Elemente aus V (also IR³) genau dann in einer Relation, wenn sie in einer Ebene liegen, die parallel zur "U-Ebene" ist. Somit ist die Menge [v]~ für jedes v€V unendlich groß (richtig?).
V/~ ist nun also einfach die Menge dieser Äquivalenzklassen. Aber was heißt dieses "Wir setzen V/U = V/~"? V ohne U ist erstmal bloss eine Menge von Vektoren, V/~ hingegen ist eine Menge von Mengen mit Vektoren, wo macht das also Sinn??
Außerdem, wie kann ich mir diese Operationen denn genau vorstellen? Hier werden auch wieder zwei ganze Mengen addiert und nicht einfach zwei beliebige Elemente, ich checke es einfach nicht. Wäre jemand so nett und erklärt mir das in einfachen Worten? :(
1 Antwort
w+u=v ist äquivalent zu v-w=u; oder anders: v-w ∈ U, da ja u in U liegt.
Damit ist [v]~={w∈V | v~w}={w∈V | v-w ∈ U}.
Also einfach die Menge aller Vektoren w, die ich von v abziehen kann, um irgendwie in U zu landen.
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V/U meint hier nicht "V ohne U", sondern V/U={ [v]~ }; die Menge aller Äquivalenzklassen von V bezüglich U. Ich lass ~ jetzt mal weg: wir wissen beide, dass sich die Relation auf U bezieht.
Man kann V/U auch umschreiben; denn wenn man die Menge v+U definiert als
v+U={a+u | u ∈ U},
dann gilt [v]=v+U, also {w∈V | v-w∈U}={v+u | u∈U}. Das kann man leicht per Links-Rechts-Inklusion zeigen.
[v] hat also eine einfache Gestalt; es ist der Unterraum, der quasi "v entfernt" von U ist. Du startest irgendwo in U und läufst den Vektor v entlang. Wenn du das von jedem Punkt in U tust und deine Endpunkte alle in eine Menge packst, kriegst du [v].
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Dein Beispiel mit dem R² zündet nicht; R² ist kein Untervektorraum von R³. Jeder Vektor aus R² muss in R³ sein. R² hat aber nur Vektoren mit zwei Komponenten, R³ braucht aber 3 Komponenten.
Du kannst die xy-Ebene aber tatsächlich als Unterraum des R³ benutzen; sei U={ (x,y,0) } mit x und y aus R. Dann ist U die xy-Ebene und ein Unterraum von R³.
Insgesamt ist dann V/U = { [v] } = { (a,b,c)+(x,y,0) } = { (a+x, b+y, c) }
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Zur Addition:
Ja, es werden Mengen addiert. Das kommt einem erstmal komisch vor, aber es hindert einen ja nichts und niemand dran, eine Addition zu definieren. Bleiben wir bei R³ und U;
Beispielsweise ist [ (1,2,3) ] + [ (2,1,7) ] = { (1,2,3)+(x,y,0) } + { (2,1,7)+(x,y,0) } = { (3,3,10) + (x,y,0) }. Also addierst du einfach beide Vektoren, startest irgendwo in U, gehst in die Richtung der Summe und landest irgendwo. Die Menge aller Endpunkte, die dadurch entstehen, ist dann [ (1,2,3) ] + [ (2,1,7) ].
Ähnlich ist es für die Multiplikation. Da verlängerst oder verkürzt du halt den Vektor und läufst dann los.
Uhm, die "anschauliche" Version hab ich verhauen. So ist es richtig:
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Du startest irgendwo in V und läufst von da aus einen Vektor aus U entlang. Wenn du das für jedem Punkt in U tust und deine Endpunkte alle in eine Menge packst, kriegst du [v].
Dann ist bspw. [ (1,2,3) ] = { (1,2,3)+(x,y,0) } = { (1+x, 2+y, 3) }. Jeder Vektor aus V wird also einfach um 1 in x-Richtung und um 2 in y-Richtung verschoben, die Position auf der z-Achse ändert sich nicht. Anschaulich: Du startest bei (1,2,3), pickst dir 'nen Vektor aus U und gehst ihn von (1,2,3) aus entlang. Pack alle Endpunkte, die so entstehen können, in [ (1,2,3) ]. Es ist dann von der selben "Form" wie U, nur verschoben; hier ist es also eine Parallele zur xy-Ebene. Hier liegt [ (1,2,3) ] eben 3 Einheiten senkrecht über U.
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Beispielsweise ist [ (1,2,3) ] + [ (2,1,7) ] = { (1,2,3)+(x,y,0) } + { (2,1,7)+(x,y,0) } = { (3,3,10) + (x,y,0) }. Also addierst du einfach beide Vektoren, startest von der Summe aus, gehst in die Richtung eines U-Vektors und landest irgendwo. Die Menge aller Endpunkte, die dadurch entstehen, ist dann [ (1,2,3) ] + [ (2,1,7) ].
Hier hast du dann eben eine Ebene im R³, die 10 Einheiten senkrecht über U liegt.
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Ähnlich ist es für die Multiplikation. Da verlängerst oder verkürzt du halt den Vektor und läufst dann von diesem verlängerten Vektor aus los.
Sollte selbsterklärend sein.
Die Vektorraumsache wird bei dem Nullelement spannend; denn dieses Element muss ja aus V/U stammen, also ist das Nullelement eine Menge. Da wirst du vielleicht ein wenig ausprobieren müssen, welche Menge unter der Addition neutral ist.
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"Wohldefiniert" ist ein ganz toller Begriff, weil er immer wieder mal was anderes meint. Bei Quotientenräumen (=Faktorräumen) meint man damit meistens "unabhängig von der Wahl der Repräsentanten".
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Repräsentanten sind Elemente aus Äquivalenzklassen. Betrachte bspw. die Relation
a~b <=> a und b haben bei der Division durch 2 den selben Rest mit a und b aus den nicht-negativen ganzen Zahlen. Also sind bspw. 2~4 und 1~3.
Dann gibt es genau zwei Äquivalenzklassen: {1,3,5,...} und {0,2,4,6...}; die ungeraden und geraden Zahlen.
Nun ist definitionsgemäß [0]={0,2,4,6...} und [1]={1,3,5,...}.
Ein Repräsentant von {0,2,4,6...} wäre also 0, einer von {1,3,5,...} wäre 1.
Aber auch gilt bspw. [4]={0,2,4,6...} und [5]={1,3,5,...}, also finden sich mit 4 und 5 andere Repräsentanten der jeweiligen Äquivalenzklassen.
Eine wohldefinierte Abbildung bildet in diesem Fall alle Repräsentanten einer Klasse auf das selbe ab; für eine wohldefinierte Abbildung f würde nun f(1)=f(3)=f(5)=... und f(2)=f(4)=f(6)=... gelten.
Präziser: [a]=[b] => f(a)=f(b)
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Hier ist also zu zeigen: [v]=[w] => p(v)=p(w).
Ein kleiner Tipp; zeige zunächst [v]=[w] <=> v-w e U
Zeige damit: kern(p)=U.
Mit diesen beiden Ergebnissen kannst du dann [v]=[w] => p(v)=p(w) direkt folgern.
Hmm, also mit dem Nullelement hätte ich einfach gesagt, [v] = [v+0] = [v] + [0], somit [v] + [0] = [v], damit wäre [0] das neutrale Element? Ich meine, mit dem IR³ Beispiel wäre das dann:
[(1,2,3)] + [(0,0,0)] = { (1,2,3)+(x,y,0) } + { (0,0,0)+(x,y,0) } = { (1,2,3)+(x,y,0) } = [(1,2,3)]
Oder etwa nicht?
Und für die Wohldefiniertheit, wieso reicht es nicht einfach aus, das hier zu machen:
[v]=[w] => p(v) = [v] = [w] = p(w) => p(v) = p(w) ?
[0]={0+u}={u}=U. So viel dazu, das ist ganz praktisch.
Zur Wohldefiniertheit: Ja, das sollte auch so gehen. Ich hab meinen Beweis so konstruiert, damit du a) ein Gespür für diese Relation entwickelst und b) ein paar nützliche Dinge lernst und herleitest. Namentlich, dass [v]=[w] <=> v-w in U <=> v~w und ker(p)=U gilt.
Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah danke!!!!! Ja das macht so einige Sachen logischer, die Aufgabe ist ja dann tatsächlich ganz einfach gemacht. Die Vektorraum Eigenschaften lassen sich dann ganz schnell und einfach nachweisen, zb für Assoziativität: [v] + ([w] + [u]) = [v] + [w+u] = [v+w+u] = [v+w] + [u] = ([v] + [w]) + [u]
Richtig? Wahnsinn, das klingt ja super machbar :DD. Eine Frage hätte ich da noch, undzwar soll man zeigen dass die Abbildung p wohldefiniert linear ist, die Linearität lässt sich mithilfe der Operationen wieder flott zeigen, aber was ist mit dem "wohldefiniert"? Ich habe gedacht, wohldefiniert bedeutet: Existent und eindeutig. Muss ich also zeigen, dass zu jedem v€V ein [v]€V/U existiert, und zwar exakt eins? Also zeigen, dass diese Abbildung quasi bijektiv ist?