Kern und Bild von Vektorräumen - Wann sind sie disjunkt?

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Es sei f: V -> W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen V und W.



__________

Es gilt hier offenbar, dass:



__________

gilt nur garantiert, wenn V=W, f also ein Endomorphismus ist. Ansonsten kann das natürlich auch stimmen - muss es aber nicht.

Betrachte

Offenbar ist:



, wobei <(0,1)> der vom Vektor (0,1) aufgespannte Untervektorraum ist.

32

"gilt nur garantiert, wenn V=W"

Das stimmt nicht. Wenn f(v)=0 für alle v aus V, dann ist ker f keine Teilmenge von im f

1
31
@HansImGlueck178

Stimmt.

Ist V=W, ist V die direkte Summe des Bildes und des Kernes, bis auf den Nullvektor sind Kern und Bild also disjunkt. Also kann man im Allgemeinen keine Aussage treffen, wann der Kern eine Teilmenge des Bildes ist. Ich danke dir.

0
31

Um den bemängelten Teil richtig zu stellen:

Der Kern ist garantiert eine Teilmenge des Bildes, wenn V=W=Bild(f). Da das aber eher selten der Fall ist, dürfte dies kein allzu häufig genutztes Kriterium ergeben.

0

Das Bild sind alle Elemente, auf die eine Abbildung abbildet, nicht die, die auf etwas abbilden (was naturgemäß alle sind).

Wenn f Elemente aus V auf solche aus W abbildet, dann ist das Bild von f eine Teilmenge von W, der Kern eine Teilmenge von V.

10

Danke für die Antwort! Da hab ich schon mal meinen ersten Verständnisfehler entdeckt :)

Ich möchte für mich zum Verständnis dann nochmal zusammenfassen:

img(L) := alle Vektoren, auf die abgebildet WIRD
ker(L) := alle Vektoren, die auf den Nullvektor ABBILDEN

Liege ich da jetzt richtig?

2

Beweisen Sie,dass jeder Untervektorraum U1von V ein lineares Komplemen U2 in V hat?

Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Beweisen Sie,dass jeder Untervektorraum U1von V ein lineares Komplemen U2 in V hat. Ferner zeigen

Sie, dass

dimk(V) = dimk(U1) + dimk(U2)

...zur Frage

Lineare Abbildungen und Matrizen?

Halte eine Mathe Präsentation und brauche dringend Hilfe. Kann mir das irgend jemand erklären oder mir gute Quellen geben? Habe Angst auf was Falsches zu stoßen, da ich schließlich nicht von falsch und richtig unterscheiden kann. Vielen Dank schon mal im Voraus, bin für jede Hilfe dankbar! :)

...zur Frage

Kern und Bild einer linearen Abbildung bestimmen?

Hey Leute, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Die Aufgabenstellung steht oben drüber. Ich weiß, dass bei einer linearen Abbildung stets F(0) = 0 ist. Trotzdem weiß ich jetzt nicht so genau, wie ich nun vorgehen soll. Danke für hilfreiche Antworten

...zur Frage

wieso ist der Kern (AB) <= Ker A + Ker B?

heyho,

heute hatten wir in der Vorlesung die Aussage Kern (AB) <= Ker A + Ker B ? Leider hat unser Professor nicht gesagt warum das zwingend gelten muss, und im internet wird es immer als trivial vorrausgesetzt.

wäre schön wenn mir jemand das erklären könnte, mathematisch korrekt und anschaulich wenns geht ^^

gruß

...zur Frage

Wie prüfe ich, dass drei Vektoren ein rechtwinkliges Koordinatensystem aufspannen?

Hallo miteinander,

Ich bin immer noch am Thema der linearen Abbildungen und eigentlich am Lösen einer Aufgabe zur räumlichen Drehung einer Matrix. Dies hat (soweit ich es beurteilen kann) auch geklappt, nur der erste Teil der Aufgabe stellt für mich ein Problem dar.

Da soll man nämlich beweisen, dass die Vektoren

v1= (1,0,0), v2= (0, cosβ, -sinβ) und v3 = (0, sinβ, cosβ) ein rechtwinkliges Koordinatensystem aufspannen.

Ich nehme an, dies sollte eigentlich der einfache Teil der Aufgabe sein - aber da wir das bis jetzt noch nie so gemacht haben und ich auch in meinem Skript keinen Anhaltspunkt finde komme ich leider nicht weiter.

Könnte mir dabei jemand helfen? Vor allem um Hilfe zu diesem konkreten Beispiel wäre ich sehr dankbar, damit ich in Zukunft weiss, wie es geht :)

Besten Dank im Voraus für die Hilfe!

...zur Frage

Unglaubliche Angst vor FH/Uni Mathematik?

Nabend !

Ich habe dieses Wintersemester angefangen Informatik an einer FH zu studieren... momentan besuche ich noch die Vorkurse doch bald geht es voll los.

Dabei mache ich mir am meisten bezüglich der Mathematik ( Mathe für Informatiker 1 / 2 ) sorgen. Bisher hatte ich nur Fachabi Mathe und dazugehören unter anderem die Themen Integral, Vektoren und Matrizen, diese schnitten wir jedoch meistens oberflächlich und leicht verständlich an. Allerdings weiß ich nicht in wie fern man das Fachabi mathe mit dem der FH vergleichen kann...

Unter anderem nehmen wir im ersten semester folgende mathe inhalte durch :

 Zahlen  Mengenlehre  Aussagenlogik  Vollständige Induktion  Kombinatorik Lineare Algebra  Vektoren und Vektorräume  Matrizen und lineare Abbildungen  Lineare Gleichungssysteme Analysis I  Folgen und Reihen  Reelle Funktionen einer Variablen  Differentialrechnung  Integralrechnung

Nun habe ich unglaublich Angst vor dem Stoff der noch kommt und seiner Verständlichkeit wegen... vorallem wenn man hört das die meisten Studenten aufgrund von Mathe abbrechen...

Wie sind eure Erfahrungen mit FH/Uni Mathematik ? Fandet ihr es leicht ? Und was sollte man tun wenn es einem schwer fällt durch die Vorlesungen die Mathe Themen zu verstehen ?

Ich würde nur ungerne mein Studium deswegen abbrechen :(

...zur Frage

Was möchtest Du wissen?