Guten Abend Deutschland, Guten Morgen Aus Tralien,
ich bräucht mal kurz bissl Hilfe bei folgender Aufgabe:
Es sei f: ℝ^n -> ℝ^m eine injektive lineare Abbildung
a) Welche Dimension hat Bild (f)?
b) Zeige dass das Bild einer linear unabhängigen Menge von Vektoren unter f linear unabhängig ist.
Mein bisherige Ansatz zu a): Ich weiß das die Dimension eines Vektors sich aus der Dimension des Kerns (f) und der Dimension des Bildes (f) ergibt. Auch bin ich mir darüber im Klaren, dass die Dimension des Bildes (f) identisch zum Rang von f ist.
Der Rang ist widerum die Menge aller Zeilen, die nicht 0 sind. Weiß noch nicht ganz, wie ich das alles in Beziehung zu einander setzten soll, bzw. was eigentlich als Antwort verlangt wird. Ein Buchstabe? Eine Zahl? Es käme ja dann darauf an wie viele Nullzeilen hätte.
zu b) Ich habe im Internet folgendes gefunden: "Ist F ein monorphimus, dann ist der Kern von F = 0 und somit ist für jedes System linear unabhängiger Vektoren (v1, . . . , vn) auch (F(v1), . . . , F(vn)) linear unabhängig"
Diese Aussage scheint mir dasselbe zu bedeuten, wie wenn das Bild einer linear unabhängigen Menge von Vektoren unter f linear unabhängig ist.
Da f injektiv ist, ist f ein Monomorphismus und v∈Kern (F). Dann ist F(v) = 0 und F(0) = 0. Da F injektiv ist, folgt v= 0. Also ist Kern F={0}.
Seien (v1, . . . , vn) jetzt die linear unabhängigen Vektoren Aus λ1 F(v1) +. . .+ λn F(vn) = 0 folgt
F( λ1 v1 +. . . + λn vn) = λ1 F(v1) +. . .+ λn F(vn) = 0,
und somit sind λ1 v1 +. . .+ λn vn ∈ Kern F={0},
also λ1 v1 +. . .+ λn vn= 0.
Da (v1, . . . , vn) linear unabhägig ist, folgt λ1=. . .=λn= 0
Kann man das so sagen? Und hab ich damit gezeigt, dass das Bild einer linear unabhängigen Menge von Vektoren unter f linear unabhängig ist?
Mit freundlichem Abstand,
