Vektoren, Kreuzprodukt, Spatprodukt, was genau?
Ich habe gemerkt, dass ich das Thema noch nicht ganz verstanden habe. Es hakt, unzwar beim Spat- und Kreuzprodukt.
Wenn man das Kreuzprodukt von zwei Vektoren bxc berechnet, kriegt man den dritten Vektor raus der senkrecht zu den anderen beiden Vektoren steht, also haben wir 3D-Raum erzeugt, die X-, Y- und Z-Achse. Drei Vektoren die jeweils in die Achsen zeigen.
1) Wieso wird mit Hilfe des Spatproduktes das Volumen berechnet und nicht mit Hilfe des Kreuzproduktes. Beim Betrag des Kreuzproduktes bekommen wir den Flächeninhalt des Parallelograms, aber wenn man, mit Hilfe des Kreuzproduktes, einen dritten Vektor bekommt, der Senkrecht zu den anderen ist, müssten wir dann nicht mit dem Betrag des Kreuzproduktes das Volumen berechnen können, statt mit dem Spatprodukt?
2) Beim Spatprodukt rechnen wir a*(bxc), wieso? WIr kriegen durch bxc einen dritten Vektor, also haben wir bei der Formel vier Vektoren, wobei a die Z-Achse präsentiert (s. Bild) b und c die horizontalen Achsen. Ich habe das Thema nicht verstanden und es hakt. Wo sind meine Gedankenfehler?
1 Antwort
Wenn man das Kreuzprodukt von zwei Vektoren bxc berechnet, kriegt man den dritten Vektor raus der senkrecht zu den anderen beiden Vektoren steht, also haben wir 3D-Raum erzeugt, die X-, Y- und Z-Achse. Drei Vektoren die jeweils in die Achsen zeigen.
Die drei Vektoren müssen nicht in Richtung der Koordinatenachsen verlaufen.
Zum Spatprodukt: Der Vektor axb hat als Länge die Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Durch das Skalarprodukt des dritten mit diesem Vektor bekommt man den Betrag der Projektion des Vektors auf die Senkrechte und damit die Höhe des Spats. Zusammen also Grundfläche mal Höhe gleich Volumen des Spats.