Beispiel in Java, auf 4-bit-Prozessor (ja, die gibts!):

0110 >>  2 ==  0001;
0110 >>> 2 ==  0001;

1001 >>  2 ==  1110;
1001 >>> 2 ==  0010;

Triviale Beispiele:
x >> 0 == x >>> 0;
0000 >> n == 0000 >>> n;

Betriebssysteme von Computerns organisieren ihre auf Datenträgern gespeicherten Daten mithilfe von Dateisystemen bestehend aus Verzeichnissen und Dateien.

Die Karikatur zeigt einen Lehrer, der beim Versuch scheitert, (s)einer Klasse halbwüchsiger Schülern die Bedeutung des Begriffs "Menschenwürde" beizubringen. Sie bringt mehrere Probleme zum Ausdruck; z. B.:

• Theorie und Praxis: Während die Schüler im Brainstorming richtige Begriffe im Zusammenhang mit "Menschenwürde" genannt haben - sie stehen an der Tafel, setzen sie dieses theoretische Wissen nicht in der praktischen Situation des Unterrichts um, sondern verletzen die Würde des Lehrers, indem sie ihn zum Objekt ihrer Belustigung und Unterhaltung machen.
• Überforderte Lehrer: Es wird beispielhaft ein Lehrer gezeigt, der angesichts seiner Aufgabe, einen ordnungsgemäßen Unterricht zu halten, überfordert ist. Er schafft es nicht, sich den dazu nötigen Respekt der Schüler zu verschaffen.
• Hilflose Lehrer: Es wird beispielhaft ein Lehrer gezeigt, der angesichts des Chaos in der Klasse resigniert. Vielleicht ist er wegen Lehrermangel im falschen Beruf gelandet. Vielleicht stellt ihm das Bildungssystem keine ausreichenden Sanktionsmöglichkeiten zur Verfügung, um gegen störende Schüler wirksam vorzugehen.
• Respektlose Schüler: Die dargestellten Schüler respektieren den Lehrer weder als Mensch noch in in seiner Rolle als Lehrer. Und sie respektieren ihre (nicht dargestellen) Mitschüler nicht, die vielleicht Interesse am Unterrichtsstoff haben und die sie daran hindern, etwas zu lernen.
• Respektlose Lehrer: Auch der dargestellte Lehrer zeigt keinen Respekt gegenüber seinen Schüler, indem er in seinem Unterricht dieses Chaos zulässt, anstatt seine Aufgabe zu erfüllen, den Schülern etwas beizubringen, und sei es nur die Erfahrung, für unsoziales Verhalten zur Rechenschaft gezogen zu werden.
• Mängel im Bildungssystem: Die dargestellte Szene zeigt beispielhaft das Scheitern eines Unterrichts(versuchs). Liegt es an der Auswahl und/oder Ausbildung der Lehrer? Am Lehrermangel, der zur Anstellung unqualifizierter Lehrer führt? An der Kultusbürokratie, die geeignete Maßnahmen gegen störende Schüler verhindert? ...

Es gibt keinen "Be Quiet Pure Rock FX", nur den "be quiet! Pure Rock 2 FX"

Auf Heise online schneidet der be quiet! Pure Rock 2 FX besser ab als der Enermax Liqmax III RGB 240. Zudem hat letzterer ein paar schlechte Kritiken auf Amazon bekommen.

Eine Halbordnung ist eine (2-stellige) Relation. Die inverse Halbordnung einer Halbordnung ist also die zu ihr inverse Relation(Umkehrrelation). Die zu einer Relation R inverse Relation R' ist definiert durch a R^-1 b: ⇔ b R a.

Demnach ist

• X ⊆^-1 Y ⇔ Y ⊆ X ⇔ X ⊇ Y für X,Y∈℘(A); also ist (℘(A), ⊇) invers zu (℘(A), ⊆)
• x ≤^-1 y ⇔ y ≤ x ⇔ x ≥ y für x,y∈ℝ; also ist (ℝ, ≥) invers zu (ℝ, ≤)
• x |^-1 y ⇔ y | x ⇔ x Vielfaches von y für x,y∈ℕ; also ist (ℕ, |^-1) invers zu (ℕ, |)

⊇ ist die Relation "Obermenge", ≥ ist die Relation "größer oder gleich".

Behauptung 1: a∈ℕ und b∈ℕ ⇒ a+b∈ℕ

Behauptung 1 ist korrekt.

Beweis: Die Addition in ℕ ist durch fortgesetzte Nachfolgerbildung definiert. Und der Nachfolger a' von a∈ℕ liegt stets wieder in ℕ.

Behauptung 2: a∈ℚ und b∈ℝ ⇒ a–b∈ℚ

Behauptung 2 ist falsch.

Beweis durch Gegenbeispiel: Sei a=1 und b=√2. Dann ist a∈ℚ und b∈ℝ. Wäre a–b∈ℚ, dann auch –(a–b)+a=√2. Das ist aber ein Widerspruch zur bekannten Tatsache, dass √2∉ℚ (siehe Mathebuch oder Internet). Also ist a–b∉ℚ.

Behauptung 3: a∈ℚ und b∈ℤ ⇒ a·b∈ℚ

Behauptung 3 ist korrekt.

Beweis: Sei a∈ℚ und b∈ℤ. Wegen ℤ⊂ℚ ist dann auch b∈ℚ und damit auch a·b∈ℚ, weil ℚ bzgl. der Multiplikation abgeschlossen ist.

Behauptung 4: a∈ℤ und b∈ℤ\{0} ⇒ a:b∈ℤ

Behauptung 4 ist falsch.

Beweis durch Gegenbeispiel: Sei a=1 und b=2. Dann ist a∈ℤ und b∈ℤ\{0}. Aber a:b=1:2=0,5. Gäbe es ein x∈ℤ mit 1:2=x, so wäre x=0,5∈ℤ. Das ist aber wegen 0<0,5<1 nicht möglich, denn es gibt keine ganze Zahl zwischen 0 und 1.

Behauptung 5: a∈ℤ ⇒ √a∈ℝ

Behauptung 5 ist falsch.

Beweis durch Gegenbeispiel: Sei a=–1. Dann ist a∈ℤ. √a ist definiert als die Zahl, deren Quadrat a ist, also (√a)²=a. Es gibt aber keine reelle Zahl, deren Quadrat –1 ist, denn für jedes x∈ℝ ist x²≥0.

import turtle as t     # den Modul turtle einfügen
# Die "turtle" wird als Pfeilspitze dargestellt, die zu Beginn # bei (0|0) steht und nach rechts zeigt

def alpha(x):          # Definition der Funktion alpha()
  i=0                  # Zähler i auf 0 setzen
  while i<3:           # Schleife 3-mal durchlaufen
    t.forward(x)       # Linie der Länge x in turtle-Richtung
    t.left(90)         # turtle um 90 Grad linksherum drehen
    i=i+1              # Zähler um 1 erhöhen
  # Ende der Schleife
  t.right(90)          # turtle um 90 Grad rechtsherum drehen
  t.forward(2*x)       # Linie der Länge 2*x in turtle-Richtung
# Ende der Definition von alpha()

alpha(60)              # alpha(x) mit x=60 ausführen
t.left(90)             # turtle um 90 Grad linksherum drehen
alpha(50)              # alpha(x) mit x=60 ausführen

t.exitonclick()        # Programm bei Mausklick beenden

Du kannst das Programm oder einzelne Anweisungen in der Python-Sandbox ausprobieren. Dazu sind ein paar Änderungen nötig, weil "import ... as ..." und exitonclick() dort nicht funktionieren:

import turtle
t = turtle.Turtle()
wn = turtle.Screen()
wn.bgcolor("lightgreen")

def alpha(x):
  i=0
  while i<3:
    t.forward(x)
    t.left(90)
    i=i+1
  t.right(90)
  t.forward(2*x)

alpha(60)
t.left(90)
alpha(50)

wn.exitonclick()

Das Programm erzeugt folgende Ausgabe:

Der Anfang der Linie ist im Punkt (0|0),

Wenn du den "Animate"-Modus durch Klicken auf den grünen Button rechts unten in der Sandbox aktivierst, läuft die Ausgabe verlangsamt ab.

Ich war auch zu faul es zu lesen und bins immernoch. Aber warum tippst du nicht einfach die Suchphrase "Ins Nordlicht blicken" in die Suchmaschine deines Vertrauens? Da bekommst du jede Menge Inhaltsangaben des Buchs angeboten, zu. B. diese hier.

Die von dir gegebene Information zu dem Problem ist unvollständig!

• Was meinst du genau mit "wenn ich etwas auf meinem PC (win10) schreibe"?
• Was willst du schreiben (ein Textdokument, eine E-Mail, eine Anweisung an ein Programm, ...)?
• Welches Programm verwendest du, um das zu schreiben, worum es in der Frage geht?
• Wie ist der genaue Ablauf, der zu dem Problem führt, Schritt für Schritt?
• Schick einen kompletten Screenshot, nicht nur diesen Ausschnitt, damit man den Zusammenhang sieht.
• In der Titelzeile des Fensters, dessen Ausschnitt du hochgeladen hast, steht anscheinend "Adresse eingeben". Was für eine Adresse ist damit gemeint? Zu welchem Programm gehört dieses Fenster?
• In dem Menü, das du kopiert hast, steht u. a. "Suchmaschinen bearbeiten". Was ist damit gemeint? Geht es um Internet-Suchmaschinen? Bist du da gerade in einem Webbrowser? Wenn ja, welcher?

Versuchs mal mit einer PC-Fernsteuerungssoftware, z. B. TeamViewer.

• Bei einem Icmp-flood-Angriff sendet der Rechner des Angreifers so viele ICMP "echo request"-Pakete wie möglich/nötig in möglichst kurzer Zeit an den anzugreifenden Rechner des Opfers, um ihn durch die Bearbeitung dieser Ping-Flut zu überlasten.
• Bei einem Smurf-Angriff sendet sendet der Rechner des Angreifers so viele ICMP "echo request"-Pakete wie möglich/nötig in möglichst kurzer Zeit an die Broadcast-Adresse des Netzwerks des anzugreifenden Rechners, mit der Adresse des anzugreifenden Rechners als Absender, um alle Rechner des Netzwerks dazu zu veranlassen, Pakete mit Ping-Echos an den anzugreifenden Rechner zu senden und ihn durch die Bearbeitung dieser Ping-Echo-Flut zu überlasten.

Ich hab nur LibreOffice Impress:

1. Einfügen/Form/Grundformen/abgerundetes Rechteck
2. Zweimal ins Rechteck klicken (nicht Doppelklick)
3. Es erscheinen 9 orangerote Punkte am Rand des Rechtecks
4. Den Punkt in der Mitte oben bei gedrückter linker Maustaste nach rechts ziehen
5. Datei/Speichern unter .../Dateityp = *.pptx

Ergebnis:

Aufgabe (i)

Ich habe die gesuchten Funktionen aus möglichst einfachen Funktionen zusammengebaut um die Beweise zu vereinfachen. Ferner habe ich die Beweise in vollständige Folgen möglichst einfacher Schritte zerlegt. Dadurch werden die Beweise zwar länger, sind aber einfacher zu verstehen.

Definition
φ1 : (a; ∞) → ℝ mit φ1(x) := log(x–a)
φ2 : (–∞ ; a) → ℝ mit φ2(x) := log(–x–a)

Folgerung: log: (0; ∞) → ℝ ist bijektiv, also auch φ1 und φ2.

Definition
g: (–1; 1) → ℝ mit 
g(x) := 1/x – 1, falls 0<x<1
g(x) := 0,       falls x=0
g(x) := 1/x + 1, falls –1<x<0

Definition
h: (a; b) → (–1; 1) mit
h(x) := 2(x–a)/(b–a) – 1

Definition
φ : (a; b) → ℝ mit
φ := g ∘ h.

Behauptung: φ ist bijektiv.

Beweis

(1)   h ist lineare Funktion    |  wg. Def. von h
(1a)  h ist streng steigend     |  wg. (1) & Def. von h
(1b)  h ist injektiv            |  wg. (1a)
(1c)  h(a) = –1, h(b) = 1       |  wg. Def. von h
(1d)  h ist surjektiv           |  wg. (1a) & (1c)
(2)   h ist bijektiv            |  wg. (1b) & (1d)
     
(3)  Sei x,y ∈ (–1; 1), x ≠ y
(3a) g ist injektiv, wenn daraus g(x) ≠ g(y) folgt.
(3b) Gemäß Def. von g sind folgende Fälle zu unterscheiden:
     (3.1) 0<x<1  & 0<y<1
     (3.2) 0<x<1  & y=0
     (3.3) 0<x<1  & –1<y<0
     (3.4) x=0    & 0<y<1
     (3.5) x=0    & y=0        |   nicht möglich wg. x ≠ y
     (3.6) x=0    & –1<y<0  
     (3.7) –1<x<0 & 0<y<1
     (3.8) –1<x<0 & y=0
     (3.9) –1<x<0 & –1<y<0
     Durch Vertauschen von x und y ergibt sich (3.4) aus (3.2),
     (3.7) aus (3.3) und (3.8) aus (3.6).
(3c) Es genügt daher, die Fälle (3.1), (3.2), (3.3), (3.6) und
     (3.9) zu behandeln.
     
(4)  Sei 0<x<1, 0<y<1         |  Fall (3.1)
(5a) 1/x ≠ 1/y                |  wg. (3)
(5)  1/x – 1 ≠ 1/y – 1        |  wg. (5a)
(6)  g(x) = 1/x – 1           |  wg. (4) & Def. von g
(7)  g(y) = 1/y – 1           |  wg. (4) & Def. von g
(8)  g(x) ≠ g(y)              |  wg. (6), (7) & (5)

(9)  Sei 0<x<1, y=0           |  Fall (3.2)
(10)  x ≠ 1                   |  wg. (9)
(11)  1/x ≠ 1                 |  wg. (10)
(12)  1/x – 1 ≠ 0             |  wg. (11)
(13)  g(x) = 1/x – 1          |  wg. (9) & Def. von g
(14)  g(y) = 0                |  wg. (9) & Def. von g
(15)  g(x) ≠ g(y)             |  wg. (13), (14) & (12)

(16)  Sei 0<x<1, –1<y<0       |  Fall (3.3)
(17)  1/x > 1                 |  wg. (16)
(18)  0 < 1/x – 1             |  wg. (17)
(19)  1/y < –1                |  wg. (16)
(20)  1/y + 1 < 0             |  wg. (17)
(21)  1/y + 1 < 1/x – 1       |  wg. (20) & (18)
(22)  g(x) = 1/x – 1          |  wg. (16) & Def. von g
(23)  g(y) = 1/y + 1          |  wg. (16) & Def. von g
(24)  g(x) ≠ g(y)             |  wg. (22), (23) & (21)

(25)  Sei x=0, –1<y<0         |  Fall (3.6)
(26)  y ≠ –1                  |  wg. (25)
(27)  1/y ≠ –1                |  wg. (26)
(28)  1/y + 1 ≠ 0             |  wg. (27)
(29)  g(x) = 0                |  wg. (25) & Def. von g
(30)  g(y) = 1/y + 1          |  wg. (25) & Def. von g
(31)  g(x) ≠ g(y)             |  wg. (29), (30) & (28)

(32)  Sei –1<x<0, –1<y<0      | Fall (3.9)
(33)  x ≠ y                   |  wg. (3)
(34)  1/x ≠ 1/y               |  wg. (33)
(35)  1/x + 1 ≠ 1/y + 1       |  wg. (34)
(36)  g(x) = 1/x + 1          |  wg. (32) & Def. von g
(37)  g(y) = 1/y + 1          |  wg. (32) & Def. von g
(38)  g(x) ≠ g(y)             |  wg. (36), (37) & (35)

(39)  x≠y ⇒ g(x)≠g(y) ∀x,y∈(–1;1)  | wg. (3),(8),(15),(24),
                                     | (31) & (38)
(40)  g ist injektiv          | wg. (39)

(41)  Sei y∈ℝ (–1;1)
(41a) g ist surjektiv, wenn es ein x∈(–1;1) gibt mit g(x)=y.
      Es sind folgende Fälle möglich:
      (41.1) y>0
      (41.2) y=0
      (41.3) y<0

(42)  Sei y > 0                |  Fall (41.1)
(43)  y + 1 > 1                |  wg. (42)
(44)  1/(y + 1) < 1            |  wg. (43)
(45)  1/(y + 1) > 0            |  wg. (42) & (44)
(46)  Sei x := 1/(y + 1)
(47)  0 < x < 1                |  wg. (44), (45) & (46)
(48)  g(x) = 1/(1/(y+1))) – 1  |  wg. (47) & Def. von g
(49)  1/(1/(y+1))) – 1 = y
(50)  g(x) = y                 |  wg. (48) & (49)

(51)  Sei y = 0                |  Fall (41.2)
(52)  Sei x = 0
(53)  g(x) = y                 |  wg. (51) & (52)

(54)  Sei y < 0                |  Fall (41.3)
(55)  y – 1 < –1               |  wg. (54)
(56)  –1 < 1/(y–1) < 0         |  wg. (55)
(57)  Sei x := 1/(y–1)
(58)  –1 < x < 0               |  wg. (56) & (57)
(59)  g(x) = 1/(1/(y–1))) + 1  |  wg. (58) & Def. von g
(60)  1/(1/(y–1))) + 1 = y
(61)  g(x) = y                 |  wg. (59) & (60)

(62)  g ist surjektiv          |  wg. (41), (50), (53) & (61)

(63)  g ist bijektiv           |  wg. (40) & (62)

(64)  φ ist bijektiv           |  wg. (2), (63) und Def. von φ

q.e.d.

Aufgabe (ii)

Definition
f : [a;b] → [0;1] mit
f(x) := (x–a)(b–a)

Definition
g : [0;1] → [0;1) mit
g(x) : = 1/(n+1), falls x=1/n für ein n∈ℕ
g(x) : = x, sonst.

Definition
h : [0;1) → (0;1) mit
h(x) : = n/(n+1), falls x=(n–1)/n für ein n∈ℕ
h(x) : = x, sonst.

Definition
j : (0;1) → (a;b) mit
j(x) := a + (b–a)x

Definition
ψ : [a;b] → ℝ mit
ψ := φ∘j∘h∘g∘f, mit φ aus Aufgabe (i)

Behauptung: ψ ist bijektiv

Beweis

(1)  f ist lineare Funktion    |  wg. Def. von f
(2)  f ist streng steigend     |  wg. (1) & Def. von f
(3)  f ist injektiv            |  wg. (2)
(4)  f(a) = –1, f(b) = 1       |  wg. Def. von f
(5)  f ist surjektiv           |  wg. (2) & (4)
(6)  f ist bijektiv            |  wg. (3) & (5)

(7)  Sei x,y ∈ [0;1], x ≠ y
(7a) g ist injektiv, wenn daraus g(x) ≠ g(y) folgt.
(7b) Gemäß Def. von g sind folgende Fälle zu unterscheiden:
     (7.1) x=1/n für ein n∈ℕ, y=1/m für ein m∈ℕ
     (7.2) x=1/n für ein n∈ℕ, y≠1/m für alle m∈ℕ
     (7.3) x≠1/n für alle n∈ℕ, y=1/m für ein m∈ℕ
     (7.4) x≠1/n für alle n∈ℕ, y≠1/m für alle m∈ℕ
     (7.3) entspricht (7.2), wenn man x und y vertauscht.
(7c) Es genügt daher, die Fälle (7.1), (7.2) und (7.4) zu 
     behandeln.
(8)  Sei x=1/n, y=1/m für n,m∈ℕ   |  Fall (7.1)
(9)  1/n ≠ 1/m                     |  wg. (7) & (8)
(9a)  n ≠ m                        |  wg. (9)
(9b)  n+1 ≠ m+1                    |  wg. (9a)
(10)  1/(n+1) ≠ 1/(m+1)            |  wg. (9c)
(11)  g(x)=1/(n+1), g(y)=1/(m+1)   |  wg. (7) & Def. von g
(12)  g(x) ≠ g(y)                  |  wg. (10) & (11)

(13)  Sei x=1/n, n∈ℕ y≠1/m ∀m∈ℕ  |  Fall (7.2.)
(14)  1/n ≠ y                      |  wg. (7) & (13)
(14a) y ≠ 1/(n+1)                  |  wg. (13)
(15)  g(x) = 1/(n+1), g(y) = y     |  wg. (13) & Def. von g
(16)  g(x) ≠ g(y)                  |  wg. (14a) & (15)

(17)  Sei x≠1/n, y≠1/m ∀n,m∈ℕ     |  Fall (7.4.)
(18)  x ≠ y                        |  wg. (7)
(19)  g(x)=x, g(y)=y               |  wg. (17) & Def. von g
(20)  g(x) ≠ g(y)                  |  wg. (18) & (19)

(21)  g ist injektiv               |  wg. (7) & (20)

(22)  Sei y∈[0;1)
      g ist surjektiv, wenn es ein x∈[0;1] gibt mit y=g(x).
      Gemäß Def. von g sind folgende Fälle zu unterscheiden:      
      (22.1) y hat für ein n∈ℕ die Form 1/(n+1) 
      (22.2) y hat für kein n∈ℕ die Form 1/(n+1) 

(23)  Sei y=1/(n+1) mit n∈ℕ   |  Fall (22.1)
(24)  Sei x:=1/n
(25)  x∈[0;1]                 |  wg. (24)
(26)  g(x) = 1/(n+1)          |  wg. (24), (25) & Def. von g
(27)  y = g(x)                |  wg. (23) & (26)

(28)  Sei y≠1/(n+1) ∀n∈ℕ  |  Fall (22.2)
(29)  Sei x:=y
(29a) [0;1) ⊂ [0;1]
(30)  x∈[0;1]              |  wg. (22), (29) & (29a)
(31)  g(x) = x             |  wg. (28), (29), (30) & Def. von g
(32)  y = g(x)             |  wg. (29) & (31)

(33)  g ist surjektiv      |  wg. (22), (27) & (32)

(34)  g ist bijektiv       |  wg. (21) & (33)

(35)  Sei x,y ∈ [0;1], x ≠ y
(35a) h ist injektiv, wenn daraus h(x) ≠ h(y) folgt.
(35b) Gemäß Def. von h sind folgende Fälle zu unterscheiden:
     (35.1) x=(n–1)/n für ein n∈ℕ, y=(m–1)/m für ein m∈ℕ
     (35.2) x=(n–1)/n für ein n∈ℕ, y≠(m–1)/m für alle m∈ℕ
     (35.3) x≠(n–1)/n für alle n∈ℕ, y=(m–1)/m für ein m∈ℕ
     (35.4) x≠(n–1)/n für alle n∈ℕ, y≠(m–1)/m für alle m∈ℕ
     (35.3) entspricht (35.2), wenn man x und y vertauscht.
(35c) Es genügt daher, die Fälle (35.1), (35.2) und (35.4) zu 
      behandeln.

(36)  Sei x=(n–1)/n, y=(m–1)/m für n,m∈ℕ   |  Fall (35.1.)
(37)  (n–1)/n ≠ (m–1)/m           |  wg. (35) & (36)
(38)  m(n–1)  ≠ n(m–1)            |  wg. (37)
(39)  mn–m    ≠ nm–n              |  wg. (38)
(40)  m ≠ n                       |  wg. (39)
(41)  mn+m    ≠ nm+n              |  wg. (40)
(42)  m(n+1)  ≠ n(m+1)            |  wg. (41)
(43)  entfällt
(44)  m/(m+1) ≠ n/(n+1)           |  wg. (42)
(45)  h(x)=n/(n+1), h(y)=m/(m+1)  |  wg. (36) & Def. von h
(46)  h(x) ≠ h(y)                 |  wg. (45) & (44)

(47)  Sei x=(n–1)/n, n∈ℕ, y≠(m–1)/m ∀m∈ℕ  |  Fall (35.2.)
(48)  (n–1)/n ≠ y                  |  wg. (47)
(49)  h(x) = 1/(n+1), h(y) = y     |  wg. (47) & Def. von h
(50)  h(x) ≠ h(y)                  |  wg. (48) & (49)

(51)  Sei x≠(n–1)/n, y≠(m–1)/m ∀n,m∈ℕ     |  Fall (35.4.)
(52)  x ≠ y                        |  wg. (35)
(53)  h(x)=x, h(y)=y               |  wg. (51) & Def. von h
(54)  h(x) ≠ h(y)                  |  wg. (52) & (53)

(55)  h ist injektiv               |  wg. (35) & (54)

(56)  Sei y∈(0;1)
      h ist surjektiv, wenn es ein x∈[0;1) gibt mit y=h(x).
      Gemäß Def. von h sind folgende Fälle zu unterscheiden:      
      (56.1) y hat für ein n∈ℕ die Form n/(n+1) 
      (56.2) y hat für kein n∈ℕ die Form n/(n+1) 

(57)  Sei y=n/(n+1) mit n∈ℕ   |  Fall (56.1)
(58)  Sei x:=(n–1)/n
(59)  x∈[0;1)                 |  wg. (58)
(60)  h(x) = n/(n+1)          |  wg. (58) & Def. von h
(61)  y = h(x)                |  wg. (57) & (60)

(62)  Sei y≠n/(n+1) ∀n∈ℕ  |  Fall (56.2)
(63)  Sei x:=y
(64)  (0;1) ⊂ [0;1)
(65)  x∈[0;1)              |  wg. (56), (63) & (64)
(66)  h(x) = x             |  wg. (62), (65) & Def. von h
(67)  y = h(x)             |  wg. (63) & (66)

(68)  h ist surjektiv      |  wg. (56), (61) & (67)

(69)  h ist bijektiv       |  wg. (55) & (68)

(70)  j ist lineare Funktion    |  wg. Def. von j
(71)  j ist streng steigend     |  wg. (70) & Def. von j
(72)  j ist injektiv            |  wg. (71)
(73)  j(0) = a, j(1) = b        |  wg. Def. von j
(74)  j ist surjektiv           |  wg. (71) & (73)
(75)  j ist bijektiv            |  wg. (72) & (74)

(76)  ψ ist bijektiv     |  wg. (6), (36), (69), (75),
                         |  (64) in Aufgabe (i) & Def. von ψ

q. e. d.

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Die Fallunterscheidung ist unnötig:

• Um zu beweisen, dass R eine Ordnungsrelation ist, genügt es, die Transitivität von R zu beweisen. Dazu ist es egal, wie viele Elemente M hat.
• Um zu beweisen, dass R nicht für jedes M eine Äquivalenzrelation ist, genügt ein Gegenbeispiel.
• Jede Relation {(a,a)}, die nur aus einem Paar mit einem Element in Relation zu sich selbst besteht, ist trivialerweise eine Äquivalenzrelation. Das gilt auch für R mit M=⊘, also ℘(M) = {⊘} und {(⊘,⊘)} als einzig möglicher zweistelliger Relation auf ℘(M).

R ist transitiv, also eine Ordnungsrelation.

Beweis:

Seien A, B, C ∈ ℘(M) mit (A,B) ∈ R und (B,C) ∈ R.

⇒ |A| ≥ |B| und |B| ≥ |C|

⇒ |A| ≥ |C|

⇒ (A,C) ∈ R.

R ist i. A. keine Äquivalenzrelation.

Beweis:

Sei M := {1}

⇒ ℘(M) = {⊘, M}

Sei A:=M, B:=⊘

⇒ |A| = 1, |B| = 0

⇒ |A| ≥ |B|, aber nicht |B| ≥ |A|

⇒ (A,B) ∈ R und (B,A) ∉ R

⇒ R ist nicht symmetrisch

⇒ R ist keine Äquivalenzrelation.

Fehler auf dem hochgeladenen Blatt:

Fall 1: M besitzt 2 verschiedene Elemente M = {⊘, {1}, {2}, {1, 2}}

Dieses M besitzt nicht 2 sondern 4 Elemente und entspricht der Potenzmenge von {1, 2}. Vermutlich ist M = {1, 2} gemeint.

Ordnungsrelation: {1} R {2} und {2} R {1} aber 1 ≠ 2 es ist nicht antisymmetrisch also keine Ordnungsrelation

• Ordnungsrelationen müssen nicht antisymmetrisch sein, sondern nur transitiv.
• R ist transitiv, also Ordnungsrelation, siehe oben.

M besitzt genau ein Element M := {⊘, {1}}

Dieses M besitzt nicht genau 1, sondern 2 Elemente und entspricht der Potenzmenge von {1}. Vermutlich ist M = {1} gemeint.

Ordnungsrelation: {1} R {1} und 1=1 → reflexivität ist bewiesen → also Ordnungsrelation bewiesen

• Die Reflexivität von R kann man für jedes M beweisen, nicht nur für dieses spezielle M:

  Sei M eine endliche Menge und A ∈ ℘(M)
  |A| ≥ |A| gilt für jede Menge A
  ⇒ (A,A) ∈ R
  ⇒ R ist symmetrisch

• Ordnungsrelationen müssen nicht reflexiv sein, sondern nur transitiv.

Fall 2: M besitzt genau 1 Element ...

...

Äquivalenzrelation

Symmetrie: ⊘ R {1} ...

• Dieses Gegenbeispiel hast du bereits unter Fall 1 gebracht.

Aufgabe 1.

Bei der Auswahl von k Elementen aus einer Menge von n Elementen mit Berücksichtigung der Reihenfolge beträgt die Anzahl (n)_k der möglichen Variationen ohne Wiederholung

(n)_k = n·(n–1)·(n–2)···(n–k+1).

a) Für die 4-stelligen Variationen (k=4) aus 26+26+10=62 Zeichen (n=62) ergibt obige Formel folgende Anzahl:

(n)_k = (62)₄ = 62·(62–1)·(62–2)···(62–4+1) = 62·61·60·59 = 13.388.280.

b) Für die 8-stelligen Variationen (k=8) aus 26+26+10=62 Zeichen (n=62) ergibt obige Formel folgende Anzahl:

(n)_k = (62)₈ = 62·(62–1)·(62–2)···(62–8+1) = 62·61·60·59·58·57·56·55 = (62·61·60·59)·(58·57·56·55) = (62)₄ · (58)₄ = 13.388.280·10182480 = 136.325.893.334.400.

c) Für die 12-stelligen Variationen (k=12) aus 26+26+10+15=77 Zeichen (n=77) ergibt obige Formel folgende Anzahl:

(n)_k = (77)₁₂ = 77·(77–1)·(77–2)···(77–12+1) = 77·76·75·74·73·72·71·70·69·68·67·66 = 17.602.963.463.032.472.448.000.

Aufgabe 2.

Bei der Auswahl von k Elementen aus einer Menge von n Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge beträgt die Anzahl der möglichen Kombinationen ohne Wiederholung



Beim Ziehen von 3 Kugeln (K=3) aus 6 verschiedenfarbigen Kugeln (n=6) beträgt daher die Anzahl der möglichen Kombinationen ohne Wiederholung (d. h. ohne Zurücklegen der gezogenen Kugeln)

(n)_k / k! = 6·5·4/1·2·3 = 20.

Aufgabe 3.

Bei 8 Läufern (n=8) gibt es für die ersten 3 Plätze (k=3)

(8)₃ = 8·7·6 = 336 Möglichkeiten.

Bei x Farben gibt es für das erste Rechteck x Möglichkeiten, für das zweite x–1 Möglichkeiten, da es nicht die Farbe des ersten Rechtecks haben darf; zusammen sind das also x·(x–1) Möglichkeiten, d.h. so viele Zeichen kann man damit verschlüsseln.

Um das Alphabet mit 26 Zeichen auf diese Weise zu verschlüsseln, muss demnach gelten:

x·(x–1) ≥ 26 bzw. x² – x – 26 ≥ 0.

Die zugehörige quadratische Gleichung x² – x – 26 = 0 hat die Lösungen

x_1,2 = ½ ± √(¼ + 26) oder x₁ ≈ 5,6; x₂ ist negativ, daher keine Lösung.

Schneller gehts durch Probieren im Kopf: 5·(5–1) < 20; 6·(6–1) ≥ 26. Man braucht also 6 Farben.

Obwohl die von dir zitierten Zwischenschritte umständlicher als nötig sind, halte ich mich daran, um dich nicht zu verwirren:

(1)  x = Anzahl der Schüler, die ursprünglich an der Fahrt teilnehmen wollten
(2)  x–3 = Anzahl der Schüler, die tatsächlich an der Fahrt teilnehmen
(3)  p = ursprünglicher Fahrpreis (in Euro) für jeden der x Schüler, die mitfahren wollten
(4)  p+2 = Fahrpreis (in Euro) pro Schüler, wenn nur x–3 Schüler mitfahren
(5)  Miete (in Euro) für den Bus = 336
(6)  (Preis pro Fahrgast) · (Zahl der Fahrgäste) = Busmiete
(7)  x·p = 336   wg. (1), (3) (5) und (6)
(8)  x = 336/p   wg. (7), indem man beide Seiten durch p teilt (9)  (x–3)·(p+2) = 336   wg. (2), (4), (5) und (6)
(10)  (336/p – 3)·(p+2) = 336   durch Einsetzen von (8) in (9) (11)  336 + 672/p – 3p – 6 = 336   aus (10) durch Ausmultiplizieren
(12)  672/p – 3p = 6   aus (11) durch Subtrahieren von 336 und Addieren von 6 auf beiden Seiten der Gleichung
(13)  –3p² – 6p + 672 = 0   aus (12) durch Multiplizieren mit p, Subtrahieren von 6p sowie Umordnen der linken Seite
(14)  p² + 2p – 224 = 0   aus (13) durch Division mit –3
(15)  p = –1+√(1+224) oder p = –1–√(1+224)   aus (14) mit Lösungsformel für quadratische Gleichungen
(16)  p = –1+15 oder p = –1–15   aus (15) durch Wurzelziehen
(17)  p = 14   aus (16) und wg. p > 0
(18)  x = 24   durch Einsetzen von (17) in (8)

Die unten stehende C-Funktion get_distance() leistet das Gewünschte. Die musst du nur noch in Python übersetzen. Die verwendete C-Funktion get_word() lässt sich z. B. mit der Python-Funktion split() realisieren.

Testdatei

            Hello,  world!

How are        you  
today?

Code

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#include <string.h>
#define LENGTH 45

int get_distance(FILE *input_pointer, char *word1, char *word2);

void get_word(FILE *input_pointer, char *current_word);

int main(void){

    char search_word1[] = "Hello";
    char search_word2[] = "today";
    char passage_word[LENGTH+1];
    int distance = 0;

    FILE * passage = fopen("passage.txt", "r");

    distance = get_distance(passage, search_word1, search_word2);
    
    printf("distance = %d\n", distance);

    fclose(passage);

    return 0;
}


// Based on code from Github user Bart Fizz

void get_word(FILE *input_pointer, char *current_word){

    int index = 0;

    char c;

    // find the beginning of the word skip over non-characters
    do{
        c = fgetc(input_pointer);
        if(c == EOF){
            break;
        }
    }while( !((c >= 'A' && c <= 'Z') || (c >= 'a' && c <= 'z')) );

    // collect the word char by char
    while( (c >= 'A' && c <= 'Z') || (c >= 'a' && c <= 'z')){

        if(feof(input_pointer)){
            break;
        }

        current_word[index] = c;
        index++;

        c = fgetc(input_pointer);
    }
    // finish off with null terminator
    current_word[index] = '\0';

}


// Returns the number of words between the 2 words in the argument

int get_distance(FILE *passage, char *search_word1, char *search_word2){
    
    char passage_word1[LENGTH+1];
    char passage_word2[LENGTH+1];
    int count = 0;
    int count1 = 0;
    int count2 = 0;
    
    // find first word
    while(true) {
        
        get_word(passage, passage_word1);
        
        if( feof(passage) ){
            printf("can't find %s\n", search_word1);
            return -1;
        }
        count++;
        
        if(strcmp(passage_word1, search_word1) == 0){
            count1 = count;
            break;
        }
    }
    
    // find second word
    while(true) {
        
        if( feof(passage) ){
            printf("can't find %s after %s\n", search_word2, search_word1);
            return -1;
        }

        get_word(passage, passage_word2);

            count++;
        
        if(strcmp(passage_word2, search_word2) == 0){
            count2 = count;
            break;
        }
    }
    
    return count2 - count1 - 1;
}

Es war von Anfang an (spätestens 1979) geplant, GPS sowohl militärisch als auch zivil zu nutzen. Siehe den DOT-Bericht dazu.