Flächeninhalt zwischen x Achse und Graph bis zu einer bestimmten Grenze?
zb von 0 bis 8, man könnte ja jetzt ein integral von 0 bis 8 aufstellen, geht es aber auch einfach den Y Wert für X= 8 aus der Stammfunktion zu berechnen, weil die erste Grenze bei 0 liegt
also
F(8)= der Flächeninhalt von 0 bis 8 zwischen X Achse und f(x)
4 Antworten
Das scheitert gewissermaßen schon daran, dass es nicht "die" Stammfunktion gibt.
Wenn f(x) = x ist, sind sowohl F(x) = x²/2 als auch F(x) = x²/2 - 7 valide Stammfunktionen. Damit sind F(0) und F(8) im Zweifel gar nicht eindeutig bestimmt, die Differenz F(8) - F(0) hingegen schon.
Das mag dir momentan wie eine künstliche Hürde vorkommen ("pff, ich wähle einfach immer 0 als Integrationskonstante und stoße dann nicht mehr auf das Problem"), aber wenn du irgendwann mal Randbedingungen dazubekommst, durch die die Integrationskonstante gezwungenermaßen eben nicht 0 ist, und dich dann auf diese Regel "Ich berechne einfach F(8) statt F(8) - F(0)" verlässt, kommst du auf falsche Ergebnisse.
die Zeitersparnis ist minimal, wenn bei der Untergrenze 0 raus kommt, merkst du das schnell und ist auch sehr schnell zu berechnen
Hallo,
wenn F(0)=0, dann reicht es wirklich, einfach F(8) zu bestimmen.
Aber Achtung! Falls zwischen x=0 und x=8 eine oder mehrere Nullstellen liegen, darfst Du immer nur bis zur nächsten Nullstelle integrieren. Anschließend die Beträge der Teilergebnisse addieren. Integrierst Du einfach über die Nullstellen hinweg, bekommst Du lediglich die Differenz zwischen den negativen Flächen unterhalb der x-Achse und den positiven oberhalb der x-Achse heraus, nicht die Gesamtfläche.
Also vor dem Integrieren auf Nullstellen im fraglichen Bereich prüfen.
Herzliche Grüße,
Willy
Nein.
Das bestimmte Integral von f von a bis b ist (wenn F eine Stammfunktion von f ist) nach dem Hauptsatz der Integralrechnung
Also ist das Integral von 0 bis zu einem Wert b gerade
Aber F(0) muss ja nicht 0 sein. Daher kannst du nicht annehmen, dass das Integral einfach F(b) ist.
also würde das z.b. bei einer ganzrationalen Funktion gelten, bei der jeder Koeffizienten mit mind einem x multipliziert wird
Wie gesagt, F(0) muss Null sein. Ja, bei einer ganzrationalen Funktion ohne absolutes Glied gilt das, aber es macht wirklich wenig Sinn, sich da Sonderregeln zu merken. Integral von a bis b ist F(b)-F(a). Mehr muss man sich nicht merken (und mit mehr sollte man da den Kopf auch nicht belasten, solche Sonderregeln bekommt man dann nur durcheinander).
Dazu musst du noch das beachten, was Willy geschrieben hat: Die Fläche entspricht nur dann dem Integral, wenn die Funktion in dem gesamten Intervall nicht-negativ ist. Sonst gilt:
- Stammfunktion bestimmen
- Nullstellen bestimmen
- Abschnittsweise zwischen den Nullstellen integrieren, Betrag nehmen
- Teilwerte addieren.
Ja ich weiß aber ich schreib morgen Abi und da würden solche Abkürzungen schon helfen, weil ich die anderen Sachen noch nicht so gut verstehe und dafür mehr Zeit brauche und das hier mit dem Integral kann man sicht eigentlich einfach erschließen. Danke für die Antworten!
solche Abkürzungen bringen nichts, auch wenn das bei ganzrationalen Funktionen funktioniert. Bei einer e-Funktion funktioniert das meist nicht, weil e⁰ =1 ist (und nicht 0)
Du musst dir dann ganz genau merken, wann es geht und wann nicht. Das verwirrt doch nur. Dann sitzt du davor und denkst, muss ich hier jetzt F(8)-F(0) rechnen oder muss ich hier F(8) rechnen, wann war noch mal was... und das im Stress. Ich verstehe deine Idee, aber du konstruierst dir da gerade unnötige Fehlerquellen, wirklich. Das ist keine Abkürzung, im Gegenteil, das ist zusätzlicher Aufwand.
Wenn es sich um den Graphen einer linearen Funktion handelt, kannst du die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse innerhalb bestimmter Grenzen auch konventionell als Trapez berechnen.
Das war ein gern gespieltes Spiel unseres Mathelehrers. Zwischen mehrere Aufgaben die mit Integration gelöst werden mussten hat er eine lineare Funktion eingeschmuggelt die einfach zu lösen war und sich dann gefreut wie sich die meisten abgemüht haben.
Danke, ich weiß auch wie man die Fläche mit dem Integral berechnet, nur falls mal so ein Fall drankommt kann man ja bisschen Zeit sparen :)