Bestimmtes Integral, Flächeninhalt?
wieso kann man eigentlich mit dem bestimmten integral den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x Achse oder zwischen 2 Graphen berechnen…. Also was ist der mathematische Hintergedanke (Beweis)?
danke euch schonmal!!
2 Antworten
Wenn Du Dich noch an die Einführung in die Integralrechnung erinnerst, wurde zu Beginn die Fläche unter dem Graphen annähernd mit einer steigenden Zahl an Rechtecken berechnet. Je feiner man die Unterteilung in Rechtecke gewählt hat (Anzahl Rechtecke immer größer bei schrumpfender Breite), desto genauer wurde das Ergebnis. Das Integral ist dann letztendlich die Berechnung der Fläche von "unendlich" vielen und "unendlich" schmalen Rechtecken.
Bei der Berechnung der Fläche zwischen 2 Graphen rechnet man quasi die Fläche der einen Funktion unter deren Graphen und zieht davon die Fläche der anderen unter deren Graphen ab, übrig bleibt dann die Fläche dazwischen.
Du kennst wahrscheinlich die Kästchenmethode, mit der man den Flächeninhalt unter einer Kurve annähern kann. So in etwa leitet sich auch das (Riemann-)Integral her.
Bei der Kästchenmethode betrachtet man die Anzahl der Kästchen unter der Kurve pro Kästchenlänge auf der x-Achse, und summiert am Ende die Kästchenzahl über die gesamte x-Achse auf. Nun wählt man beim (Riemann-)Integral die Kästchen immer kleiner, und damit auch eine immer kleinere Kästchenlänge auf der x-Achse. Irgendwann hat man unendlich kleine Kästchen und unendliche kleine Kästchenlängen und erhält damit den genauen Flächeninhalt.
Das Integral ist also eine Summe. Das 'dx' im Integral von f(x) bezeichnet diese unendlich kleinen x-Achsenabschnitte.
Bei der Integration einer Konstanten ist die Berechnung des Integrals noch ganz anschaulich. Bspw. Der Funktion f(x) = 2 wird beim Integrieren die x-Achse "anmultipliziert". Man erhält damit (bei endlichem Integrationsbereich) ein Rechteck mit der Seitenlänge y=2 und x=Integrationsbereich. Die Multiplikation von x*y ergibt den Flächeninhalt.
Die Integration ist also eine Art Multiplikation mit x (bzw. der Interationsvariablen) und die Ableitung eine Art Division durch x. Dabei hat man sich jedoch an bestimmte Regeln zu halten. Die Herleitung der Regeln für die Berechnung von Stammfunktionen steht in einem anderen Kapitel.
Ich nehme an, du bist etwa auf dem Wissensstand eines Oberstufenschülers. Wenn du mehr dazu wissen willst, dann schau dir lieber eine Erstsemester-Mathevorlesung an. Da wird es zumindest anschaulicher vermittelt, als nur in Textform und je nach Professor wird auch das meiste sauber bewiesen. Es gibt davon etliche auf Youtube oder frei zugänglichen Portalen von den Hochschulen selbst. Es ist auch fast egal, von welchem Studiengang. Die Basics macht man überall, wo Mathe benötigt wird.
Nein, in der Schulmathe musst du nur wissen, wie man einfache Integrale berechnet und dass dieser Zusammenhang mit dem Flächeninhalt besteht.
Wenn man sich für den Mathe-Leistungskurs entscheidet, dann könnte evtl. schon kleine Teile davon relevant werden.
Falls dich das Thema weiter interessiert und du einigermaßen Englisch kannst, dann kann ich dir den Youtube-Kanal 3Blue1Brown ans Herz legen.
In dieser Playlist zu den Grundlagen der Analysis wird in Kapitel 9 (9. Video) der Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Flächeninhalt sehr anschaulich vermittelt.
Dankeschön… ich habe Grundkurs es interessiert mich aber trotzdem
ich kann sher gut englisch ich schaue auf jeden Fall mal vorbei
Vielen Dank für die Antwort… das ist aber nicht relevant für die Schule oder?
icu hinterfrage nur ganz gerne mal Sachen :)