Injektivität Nachweisen?
Ich weiß, was injektiv, surjektiv und bijektiv heißen, jedoch hab ich wirklich garkeinen Plan wie ich an die ersten beiden Aufgaben rangehen soll.
1 Antwort
Aufgabe 1:
- die Injektivität nutzen, um g zu konstruieren
- g ist eine Funktion, also rechtseindeutig - hieraus die Linkseindeutigkeit von f nachweisen
Aufgabe 2:
(1) und (2): das geht "stur geradeaus" mit Einsetzen der Definitionen. Ansonsten: Internet-Suche nach "transitivität injektivität" bzw. "transitivität surjektivität"
(3): Gegenbeispiel angeben (Tipp es reicht, wenn X und Z zwei und Y drei Elemente enthalten)
Zu zeigen: Wenn f: X -> Y injektiv ist, dann gibt es ein g: Y -> X, sodass g(f(x)) = x für alle x aus dem Definitionsbereich.
Jede Funktion h: A -> B induziert auf A eine Äquivalenzrelation:
x1 äq x2 :<=> h(x1) = h(x2)
Damit können wir jedes y aus dem Wertebereich von h auf diejenige Äquivalenzklasse der x aus A abbilden, die durch h wieder auf y abgebildet werden ("Urbildmenge")
Da f injektiv ist, enthält die Urbildmenge jedes Element aus dem Wertebereich höchstens 1 Element, und auch mindestens 1 (sonst wäre es kein Urbild)
Damit können wir jede Urbildmenge eindeutig auf ihr einziges Element abbilden
Okay danke. Zu der ersten Aufgabe, da brauche ich ja f(x) um g zu konstruieren oder nicht? Also kann ich quasi alles angeben? Also wenn f(x)= e^x ist ist g(f(x))=ln(f(x))? Weil das wäre ja =x und f(x)=e^x ist ja injektiv. Nur dann wüsste ich nicht wie weiter.