Warum rechnet man ein Integral minus das andere?

Hallo, ich versteh die Lösung von der Aufgabe 3 a) nicht. Wie kommen die dadrauf, das eine Integral minus das andere zu rechnen, also warum rechnet man zb nicht plus?

Kann mir jemand weiterhelfen?

Das ist meine Lösung:

Und ich glaube ich habe soweit auch richtig gerechnet, aber den letzten Rechenschritt in der Lösung verstehe ich nicht ganz.
Wenn ich die Lösung nach rechne, macht das auch Sinn, aber ich würde selbst nicht drauf kommen.
Wenn man nämlich xhoch3 - 4x -(-1-4x) rechnet kommt xhoch3 + 1 raus.

Aber wie gesagt, warum rechnet man minus? Und macht man das immer so, oder woran erkennt man was man rechnen muss?

Würde mich über Hilfe freuen :)

Comments

[nein3122]

Du hast die Integrale ausgerechnet aber in der Aufgabenstellung steht doch finde einen Zusammenhang zwischen den Integralen?

[Josefinee05]

Ja weil ichs offenbar doch nicht verstanden hab 😂 ich wollte durch das ausrechnen einen Zusammenhang finden 😅

Answer 1

[Suboptimierer]

Das Integral wurde auseinandergezogen.

$\int_{-1}^1x^3-4x\ dx\ -\ \int_{-1}^1-1-4x\ dx\ =\ \int_{-1}^1x^3-4x+4x+1=\int_{-1}^1x^3+1$ dx

Answer 2

[SeifenkistenBOB]

Es geht bei der Aufgabe nicht darum, die Integrale auszurechnen oder die Lösung vorherzusehen.

Es geht eher darum, die Rechenregeln für Integrale anzuwenden. Ein Integral über eine Summe kann man auch folgendermaßen aufteilen:

$\int\left(a+b\right)\ dx\ =\ \int a\ dx\ +\ \int b\ dx$

Da in a) die Integrationsgrenzen bei allen drei Integralen gleich ist, kannst du auch erstmal (gedanklich) die Integrale weglassen und einfach nur das betrachten, was im Integral steht und das in miteinander in einen Zusammenhang bringen.

Hier sollte dir auffallen, dass es drei verschiedene Monome gibt, die in der Gesamtheit der drei Integrale jeweils zwei Mal vorkommen (positiv oder negativ).

0 = (x³ + 1) [+ oder –] (- 1 - 4x) [+ oder –] (x³ - 4x)

Jetzt könnte man sich bspw. überlegen: Wenn im ersten Integral kein 4x vorkommt, aber in den anderen beiden schon, dann könnte man diese doch irgendwie miteinander verrechnen, sodass Null herauskommt: -4x - (-4x) = 0

Kannst natürlich auch andere Kombinationen ausprobieren, aber so viele Möglichkeiten gibt es gar nicht. Wie du oben siehst, gibt es nur vier: plus-plus, plus-minus, minus-plus, minus-minus.