Integration sin(sqrt(pi*x))?
Hallo liebe Community,
ich soll eine mögliche Funktion u(x) zur Substitution angeben, durch die das integral
sin(sqrt(pi*x))*u(x) möglich zu lösen wird.
als Lösung wurde sqrt(Pi/x) vorgeschlagen, aber ich verstehe nicht ganz warum. Klar sucht man eine Funktion, die sich mit ihrer Ableitung (bis auf eine Konstante) wegkürzt und ich weiß auch, dass das bei der obigen Substitution der Fall ist. Meine Frage jedoch ist, warum das so ist und ob man aus
f(x)=sqrt(x) => f‘(x)=1/(2*sqrt(x))
schließen kann, dass gilt
f(x)*f‘(x) gleich eine konstante?
LG
1 Antwort
Damit gilt u(x)= d/dx( sqrt(pi*x) )
d/dx( sqrt(pi*x) ) = 1 / ( 2 sqrt(pi*x) ) * pi = 1/2 sqrt(pi/x)
Mit dem vorgeschlagenen u kann man also die Kettenregel rückwärts anwenden und integrieren (bis auf den Faktor 1/2).
f(x) * f‘(x) = c ist eine Differentialgleichung, die bis auf Konstante die Wurzelfunktion als Lösung. Die Schlussrichtung ist also eher umgekehrt.
