Integral 0 bis pi von sin(x)*cos(x)³ berechnen?
Wir sollen dieses Integral einmal mit der partiellen Integration lösen und mit der Substitution. Ich komme nach doppeltem Integrieren mit der partiellen Integration auf die Stammfunktion:
0.5sin(x)sin(x³)+0,5cos(x)cos(x³) aber wenn ich hier die Grenzen einsetze kommt -0,041 raus. Laut Taschenrechner und Wolfram Alpha muss aber ungefähr 0.247 raus kommen und wie man hier die Substitutionsregel anwenden soll ist mir generell ein Rätsel. Mittlerweile sitze ich schon zwei Stunden an dieser Aufgabe und ich wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte. Meinen Rechenweg habe ich abfotografiert.
5 Antworten
u=cos^2
du/dx=2*cos*sin
dx=du/(2sin*cos)
-> integral(sin*cos*cos^2*dx)
=integral((sin*cos)*u*du/(2*sin*cos))
=integral(u/2*du)=1/2*integral(u*du)
=[1/2*(1/2*u^2)]
=[1/4*u^2]
=[1/4*(cos^2)^2]=[1/4*cos^4]
[..] soll andeuten dass das in der klammer die stammfunktion ist, in die noch die grenzen einzusetzen sind.
ist mal der substitutionsweg.
partielle integration wäre logischerweise so zu wählen dass sin(x) das ist, was du integrierst.
denn (cos(x))^3 zu integrieren ist ziemlich schwer, wenn nicht gar unmöglich.
also:
integral(sin*cos^3)
=integral(u' *v)
=u*v-integral(u*v')
=[(-cos)*cos^3]-integral((-cos)*3*cos^2*sin)
=[-cos^4]+3*integral(cos^3*sin)
also integral(sin*cos^3)=[-cos^4]+3*integral(cos^3*sin)
[cos^4]=2*integral(cos^3*sin)
integral(sin*cos^3)=1/2*[cos^4]
also entweder hier oder oben scheine ich einen Rechenfehler gemacht zu haben, da die faktorn nicht stimmen (oben 1/4, hier nun 1/2)
Der Rest sollte passen.
Du hast gesetzt
v = sin x
u' = cos (x³)
Dann ist v' = cos x (soweit richtig, sorry, hatte das eben falsch rum gesehen)
Aber die Stammfunktion von u' - also u - ist nicht einfach sin(x³).
Leitest du sin x³ ab, so kommt heraus
-cos (x³) * 3 x²
Schließlich muss du dabei ja die Kettenregel berücksichtigen!
Stimmt habe ich total vergessen, aber jetzt komme ich überhaupt nicht mehr weiter, da das zweite Integral schwerer ist, als das erste.
Nächste Frage: Was hast du nur in Wolframalpha eingegeben?
Dieser findet zu sin(x) cos(x³) keine Stammfunktion
Oder ist deine Integrandenfunktion vielleicht in Wirklichkeit
sin(x) cos³(x) = sin(x) ( cos(x) )³
So steht es in Titel deiner Frage, aber in deinem Heft steht wieder etwas anderes. Wie nun?
Dann hat wolframalpha das Integral numerisch genähert. Denn die Eingabe
int sin(x)*cos(x³) dx
ergibt:
"no results found in terms of standard mathematical functions";
dann bietet die Maschine noch den Wert einiger (höchst) spezieller (bestimmter) Integrale mit diesem Integranden an (hat also durchaus die Eingabe "verstanden").
⇒ Ich denke schon, dass mit " cos(x)³ " gemeint ist : ( cos(x) )³. Das geht dann auch mit Substitution, siehe zweite Antwort.
Aber im Buch steht zum Beispiel für Aufgabe c) "Integral (sin(x))²*cos(x) dx", würde mich doch sehr wundern, wenn das Buch da keine einheitliche Schreibweise hat.
Ich schreibe cos³(x) für ( cos(x) )³ .
Wenn das so gemeint war (cos innere und ³ äußere Funktion), geht es mit Substitutionsregel nicht schwer:
∫ sin(x) * cos³(x) dx =
- cos(x) = t, -sin(x) dx = dt
-∫ t³ dt =
-t^4 / 4 + C =
-(cos(x))^4 / 4 + C;
. . .
Probe:
( -(cos(x))^4 / 4 + C ) ' =
-4cos³(x)/4 * (-sin(x)) =
cos³(x) sin(x) (w)
∫ sin(x) * cos³(x) dx ( von 0 bis π ) =
[ -(cos(x))^4 / 4 ] (0, π) =
-( (-1)^4 /4 - 1/4 ) = 0
Ein Problem ist schon gleich beim Übergang von der ersten in die zweiten Zeile: Die Stammfunktion von cos(x³) ist nicht sin(x³), denn sin(x³)' = 3x² cos(x³) (Kettenregel).
Den entsprechenden Fehler finde ich mehrmals - und schicke dir das schon einmal, denke aber selbst parallel dazu über einen passenderen Integrationsweg nach.
Wolfram Alpha: "integral 0 to pi sin(x)*cos(x³)"
Nein das Buch schreibt cos(x)³, was ich als cos(x³) verstehe, da hier sonst (cos(x))³ stehen würde.