Wann benutze ich am sinnvollsten für die Integration, die partielle Integration, Substitution etc.?
Danke für jede Antwort!
Gibt es da eine Regel oder Trick, an dem ich es erkennen kann, wann wo was benutzt werden soll? :)
6 Antworten
Bei der Substitution sagt man in der Regel, dass es Übungssache ist und ganz ehrlich, meistens ist es raten.
Verkettungen
Sollten aber skurriler Weise nur ein Term der Form f(g(x)) vorliegen, dann kann man da so nicht die partielle Integration anwenden, sondern dann nutzt man natürlich die Substitution. Was man substituieren soll rät man in der Realität, gemäß den Richtlinien erschließt man sie sich sich durch logischen Denken, was ehrlich gesagt meistens raten ist.
unendliche Reihenentwicklungen
Entweder integriert man hier die Summanden einzeln (was ich meistens empfehlen würde, besonders bei schweren ODEs / PDEs), oder fasst sie zu einer Funktion zusammen auf welche wir meistens die Substitution anwenden können.
unendliche Produkte
Auch wenn man sich hier denkt, "Ehy, das ist ja ein Produkt. Da sollte ich doch die Produktregel für Integrale aka die partielle Integration anwenden!", nutzt man das hier in der Regel nicht.
In der Regel versucht man das unendliche Produkt in eine unendliche Reihe umzuwandeln und dann auf die die Substitution anzuwenden.
partielle IntegrationFür die partielle Integration gibt es aber tatsächlich ein paar Tricks.
LIATE-Trick
LIATE steht für
- L: logarithmische Funktionen (log(e), ln(a), …)
- I: (inversive Funktionen:) Arkusfunktionen und Areafunktionen (arcsin, arccos, arctan, arcsec, areasin, …)
- A: algebraische Funktionen (x², 5x³, …)
- T: trigonometrische Funktionen / Hyperbelfunktionen (sin, cos, tan, csc)
- E: Exponentialfunktionen (e^x, 5a^^x)
Man nutzt diesen Trick um sich zu entscheiden, was in der Formel für die partielle Integration am geeignetsten ist für f und g, wobei die Rangordnung nach Nummer sinkt:
Dein Ziel ist es immer, das Produkt, das du partiell integrieren willst, zu vereinfachen. Dazu setzt du den Faktor für f(x) ein, der in LIATE möglichst am Anfang kommt. Denn er vereinfacht sich durch Ableiten. Den Faktor, der in LIATE weiter hinten steht, setzt du in der Formel für partielle Integration für g'(x) ein. Denn er vereinfacht sich durch Integrieren.
Wenn du beispielsweise die Funktion ln(x) * 8x³ integrieren möchtest, solltest du ln(x) für f(x) und 8x² für g'(x) in die Formel einsetzen. Denn in LIATE steht ln(x) als Logarithmische Funktion über der Algebraischen Funktion 8x².
Das ganze wird hier gut erklärt:
Das ist Übungssache.
Man muss ausprobieren, was im Einzelfall funktioniert.
Die Substitution bietet sich an wenn eine Verkettung von Funktionen vorliegt [ z.B. bei f(x) = sin(2x+1) mit z =2x+1 ]. Die partielle Integration ist eigentlich nichts anderes als gezieltes Erraten. Sie bietet sich an wenn die Funktion ein Produkt oder ein Quotient ist [ z.B. f(x) = x * ln(x) ] . Bei Differentialgleichungen nennt man das "das dem Störglied angepassten Ansatz".
Für manche einfach aussehende Funktionen gibt es aber überhaupt keine einfache algebraische Darstellung des unbestimmten Integrals [ z.B. f(x) = e^-(x^2) ]. Deshalb gibt es große Sammlungen mit Stammfunktionen.
Partielle Integration funktioniert oft (in Übungsaufgaben), wenn ein Produkt aus Funktionen gegeben ist, von denen du bestenfalls eine gut ableiten und die andere gut integrieren kannst.
Substitution bietet sich an, wenn eine Funktion gegeben ist, die von ihrer Struktur her einer Funktion aus deiner Tabelle bekannter Stammfunktionen ähnelt. Also quasi immer wenn man sich denkt "Wenn das blöde "+1" da nicht stehen würde, dann könnt ich das easy integrieren.".
Aber das ist auch nicht allgemeingültig. Manchmal werden auch andere "Tricks" benötigt, um schnell auf eine Lösung zu kommen, wie z.B. die Anwendung von Additionstheoremen oder aufgabenspezifischen Äquivalenzen, Partialbruchzerlegung, etc...
Bei der partiellen Integration: Nutzt die DI-Methode