Integration Mit Bruch?
Hallo
Wie kann ich dieses Integral integrieren? ich weiss es hat was Mit der Substitution zutun nur leider weiss ich nicht was ich mit dem x oben machen soll, da es nicht quadriert ist.
ich dachte Wenn ich ihn aus dem Bruch ,,ziehe'' komme ich durch die partielle substitution weiter jedoch scheitert es jedesmal
Ich dachte auch ich könnte die x oben raus kürzen jedoch komme ich dann auf das falsche ergebnis
Könnte mir jemand helfen?
Lg
4 Antworten
Hallo,
Du kannst nicht einfach ein x kürzen, weil im Nenner eine Summe steht.
Substituiere x²=u.
Dann ist der Substitutionsausgleich 1/(2x).
Den kannst Du gegen das x im Zähler kürzen.
Es bleibt (1/2)Int (1/(u+1))du, was zur Stammfunktion (1/2)*ln |u+1|+C führt.
Nun noch u wieder durch x² ersetzen, fertig.
Herzliche Grüße,
Willy
∫ (x / (x² + 1)) dx
Substitution:
u = x² + 1
du / dx = 2 * x
dx = du / (2 * x)
∫ (1 / 2) * (1 / u) du =
(1 / 2) * ∫ (1 / u) du =
(1 / 2) * ln│u│ + C
Rücksubstitution:
(1 / 2) * ln(x² + 1) + C
Du hast ja schon zwei Experten-Antworten, dennoch ein Tipp:
Im Zähler steht die Ableitung des Nenners, wenn man das sieht, dann weiss man sofort, dass der Logarithmus dahinter steckt, denn die Ableitung von ln( f(x) ) ist
f'(x) / f(x)
Das kannst Du mit dem Substitutionsverfahren lösen. Zuerst werden wir den Nenner als
schreiben und die Ableitung von u finden. Deshalb wäre der Wert von
Wir werden dann die Ableitung von x finden, was 1 ergibt. Danach werden wir das schon in einer Gleichung stellen, woraus wir :
bekommen. Dieser Integral ist rational, deswegen wäre der Integral : ln(u).
Jetzt werden wir die beiden Werten multiplizieren und der originellen Wert in diese Gleichung stellen, was
ergibt. Weil das hier ein unbestimmter Integral ist, müssen wir C ans Ende stellen. :)
Danke für deine Antwort:) Was passiert aber mit dem x bei ,,dx=du / (2*x)'' im nächsten Schritt? Da komme ich jedes mal nicht so ganz weiter :/