Wie kann man diese Funktion mit der partiellen Integration oder Substitution durch Integration lösen?
Die Funktion lauten f(x) = 4(x*ln(x)). Wie kann ich das mit einem den oben genannten Integrationsverfahren lösen?
4 Antworten
Beispielsweise so ...
I = Integral
I(4(x*ln(x))dx = 4*I(x*ln(x))dx
= 4 * (1/2x^2 * ln(x) - I(1/2x^2 * 1/x)dx)
= 4 * (1/2x^2 * ln(x) - I(1/2x)dx)
= 4 * (1/2x^2 * ln(x) - 1/4x^2)
= 2x^2 * ln(x) - x^2
Zunächst den Faktor 4 nach vorne ziehen:
Integral[4(x*ln(x)) dx] = 4* Integral[x*ln(x) dx]
Nun die partielle Integration anwenden, was besagt die nochmal? Hast du zwei (differenzierbare) Funktionen f, g, so gilt:
Integral[f*g' dx] = (f*g)(x) - Integral[f' * g dx]
Hier wenden wir das an, indem wir für f und g wählen: f(x) = ln(x); g(x) = 1/2 x^2
(Wir wählen g so, weil dann g'(x) = x gilt)
Es ergibt sich nun also (da die Ableitung von ln(x) nämlich 1/x ist):
4* Integral[x * ln(x) dx] = 4* ( ln(x) * 1/2 x^2 - Integral[1/2*x^2 * 1/x dx])
= 4* ( ln(x) * 1/2 x^2 - 1/2*Integral[x dx])
= 4* ( ln(x) * 1/2 x^2 - 1/2*1/2x^2)
=2ln(x)*x^2 - x^2
= x^2*(2ln(x) - 1)
Fertig.
Überprüfung mit dem Taschenrechner ergibt das gleiche Ergebnis.
siehe Mathe-Formelbuch "Integrationsregeln","Grundintegrale"
"partielle Integration" Integral(u*dv)=u*v-Integral(v*du)
F(x)=4*Integral(ln(x)*x*dx
u=ln(x) abgeleitet u´=du/dx=1/x ergibt du=dx/x
dv=x integriert v=1/2*x^2 eingesetzt
F(x)=4*(ln(x)*1/2*x^2-1/2*Integral(x^2*dx/x)
F(x)=4*(ln(x)*1/2*x^2-1/4*x^2)+C
F(x)=ln(x)*2*x^2-x^2+C
F(x)=x^2*(ln(x)*2-1)+C