Integration mit dx im Zähler?

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Die Funktion sieht seltsam aus.

Die Schreibweise mit d/dx dient sonst der Verkürzung der Ableitungsformel, weil man ja immer zwei Zeilen braucht:

f(x) = x² .............. f'(x) = 2x

Jetzt kann man schreiben d(x²) / dx = 2x

Deshalb kommt das dx ja auch bei der Integration wieder.

Könntest du deine Aufgabe nicht nochmal ganz exakt mitteilen?

Hier ist das Integralzeichen ggf. zum Kopieren: ∫

Hm habe versucht, es so genau wie möglich zu machen. ∫(dx)/(√x+(1 /(√x))). Hoffe, es wird jetzt klarer

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@PMBDE


Ja. OK.
Hier hast du das Ergebnis. Falls es dich dann noch interessiert, werde ich es dir morgen mal vorrechnen. Du kannst es ja auch mal probieren. Es geht mit Substitution u = √x

Ⅰ= 2 (√x - arc tan √x) + C

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@Volens

Ok danke schonmal. Ich versuche mich mal daran. Wäre nett, wenn du mir als Kontrolle den Rechenweg zeigen könntest.

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@PMBDE


Das werde ich. Aber da sind schon ein paar Sachen drin, die vorbereitet werden müssen. Ich fange mit der Umrechnung des Integranden an.

1/(√x+(1 /(√x))) = 1 / ((x + 1) / (√x))          ich habe im Nenner mit √x erweitert
                            = √x / (x + 1)                   und dann den Kehrwert gebildet.

Ich integriere jetzt also über ∫ (√x / (x + 1)) dx

Konntest du mir soweit folgen?

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@Volens

Wir brauchen noch eine Ableitung aus der Formelsammlung, die du vielleicht hast oder auch nicht.

f(x)  = arc tan x
f '(x) = 1 / x² + 1

Wegen des Hauptsatzes gilt auch umgekehrt
∫ ((1 / (x² + 1)) dx = arc tan x + C

http://dieter-online.de.tl/Leerzeilen.htm

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@Volens

Ich mache erst weiter, wenn du die letzten beiden Kommentare bestätigt hast.

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@Volens

Ok. Du erweiterst den Nenner mit Wurzel x. Ich kann gerade nicht nachvollziehen, wie du dann genau auf das Ergebnis kommst. Danach den Kehrwert bilden ist klar.

Ja und die Ableitung habe ich ebenfalls in meiner Formelsammlung gefunden.

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@PMBDE


Das ist aber wichtig, damit du erkennst, dass ich denselben Integranden habe, den du vorgelegt hast. Also im Einzelschritt:

1 / (√x + (1/√x))  | Nenner erweitern mit √x im Zähler (hört sich komisch an)
             dabei nur √x erweitern, der zweite Summand hat den Nenner schon

= 1/ [(√x * √x) / √x + (1 / √x)]      | ausmultiplizieren

= 1 / (x / √x + 1 / √x)                  | auf einen Nenner schreiben

= 1 : ((x + 1) / √x))                     | Kehrwert bilden

= √x / (x + 1)

Schreib dir das zur Not ins Heft, damit du richtige Bruchstriche siehst.
Alles klar?

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@Volens


Des Weiteren gibt es nachher noch eine Polynomdivision. Aus Gründen der Vereinfachung am Ende muss der Bruch
u² / (u²+1)
ausgerechnet werden:

  u² :     (u² + 1) = 1  -  1/ (u² + 1)
-(u² +1)
_______
-1

Das musst du auch begriffen haben.

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@Volens


Ich hoffe, du bist nicht davon ausgegangen, dass diese Integration so einfach sei wie z.B.

∫ x² dx

Diese hier ist ein Hammer!
Deshalb überlässt man sie ja auch gern einer kompetenten Rechenmaschine.

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@Volens

Beim letzten Schritt bevor du den Kehrwert bildest, bin ich mir unsicher.

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@Volens

Die Polynomdivision haabe ich soweit verstanden

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@Volens

Nein es war mir klar, dass die sehr schwer werden würde.

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@PMBDE

Ich darf generell nur noch solche schweren Integrale berechnen.

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@PMBDE


Eigentlich zieht es sich jetzt ganz schön in die Länge. Ich muss auch noch weg. Aber jetzt bekommst du als letzte Vorbereitung noch die Vorstellung der Substitution. Die eigentliche Integration werde ich dann wohl heute Nacht aufschreiben.

√x ist mit u zu substituieren. Was jetzt kommt, musst du bei der späteren Integration immer vorrätig haben. Vielleicht solltest du es ausdrucken, weil ich mich mehrfach darauf beziehen muss. Also:

u = √x = x^(1/2)

Ableitung du/dx = (1/2) * x^(-1/2) = 1 / (2√x) | *dx

du = dx / (2 √x) und auch

dx = 2 * √x * du oder

dx = 2 * u * du ...................... Alles wird gebraucht.

Für die Resubstitution ist nachher: u² = x

---

Das Nächste ist dann die eigentliche Integration.
Frag also, wenn noch was unklar ist.
Ich bin nur noch wenige Minuten hier.

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@Volens

Hm ok das habe ich halbwegs verstanden.

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@PMBDE


Dann geh alles nochmal im Heft durch. Bruchstriche sind dabei wichtig. Man kann sie mit diesem Editor nur andeuten.
Du wirst all die Hilfsrechnungen gleich noch brauchen.

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@Volens


Integration von ∫ ((√x) / (x + 1)) dx

Ich beginne mit der Substitution u = √x

∫ ((√x) / (x + 1)) dx = ∫ (u / (u² + 1)) dx | dx in du wandeln
                            = ∫ ((u / (u² + 1)) * 2u * du


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@Volens


[ Habe versehentlich auf die Enter-Taste gedrückt. Es geht aber weiter.]

= ∫ ((u * 2u) / (u² + 1)) du ...... | zusammenfassen

= ∫ ((2 u²) / (u² + 1)) du .......... | 2 vor das Integral bringen

= 2 ∫ (u² / u² + 1)) du .............. | Bruch mit Polynomdivision spalten

= 2 ∫ (1 - 1/(u²+1)) du ........... | zwei Integrale daraus machen

= 2 ∫ 1 du - 2 ∫ (1 / (u²+1)) du | beide integrieren

= 2 u - 2 arc tan (u) + C .......... | Resubstitution u² = x; u = √x

= 2 √x - 2 arc tan √x + C

= 2 (√x - arc tan √x) + C

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@Volens

Ok vielen Dank für deine sehr ausführliche Hilfe

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Meinst du dieses Integral: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F(sqrt(x)%2B1%2Fsqrt(x))? Dann würde ich dir empfehlen den Integranden mit √x zu erweitern und dann √x zu substituieren. Dann sieht das Integral schon mal etwas machbarer aus, aber es braucht noch ein paar Kniffe, ich möchte nicht gleich am Anfang alle verraten - vielleicht reicht der Tipp ja schon!

Ja nur dass halt statt der 1 eben dx im Zähler steht.

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@PMBDE

Das ist äquivalent dazu, dass dx oder nach dem Bruch steht. Man kann dx wie eine Zahl oder Variable behandeln und sie in einen Bruch rein- oder aus ihm rausziehen.

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@PhotonX

Ok danke. Dann ist die Funktion tatsächlich schonmal etwas

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was ist denn daran so besonders; da steht doch immer dx daneben; also 1/... dx ; das kann man natürlich auch auf den Bruchstrich setzen.

Mir war das mit den zwei Bruchstrichen unheimlich. Deshalb wollte ich es ganz genau wissen.

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Eine solch Funktion mit dx in der Funktion drin habe ich bisher noch nicht gehabt.

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