Integration mit dx im Zähler?
Hallo,
wie genau integriert man diese Funktion? dx/(√x +1 /(√x)). Macht man das mit Substitution und wenn ja wie?
Danke im Voraus;)
3 Antworten
Die Funktion sieht seltsam aus.
Die Schreibweise mit d/dx dient sonst der Verkürzung der Ableitungsformel, weil man ja immer zwei Zeilen braucht:
f(x) = x² .............. f'(x) = 2x
Jetzt kann man schreiben d(x²) / dx = 2x
Deshalb kommt das dx ja auch bei der Integration wieder.
Könntest du deine Aufgabe nicht nochmal ganz exakt mitteilen?
Hier ist das Integralzeichen ggf. zum Kopieren: ∫
Das werde ich. Aber da sind schon ein paar Sachen drin, die vorbereitet werden müssen. Ich fange mit der Umrechnung des Integranden an.
1/(√x+(1 /(√x))) = 1 / ((x + 1) / (√x)) ich habe im Nenner mit √x erweitert
= √x / (x + 1) und dann den Kehrwert gebildet.
Ich integriere jetzt also über ∫ (√x / (x + 1)) dx
Konntest du mir soweit folgen?
Das ist aber wichtig, damit du erkennst, dass ich denselben Integranden habe, den du vorgelegt hast. Also im Einzelschritt:
1 / (√x + (1/√x)) | Nenner erweitern mit √x im Zähler (hört sich komisch an)
dabei nur √x erweitern, der zweite Summand hat den Nenner schon
= 1/ [(√x * √x) / √x + (1 / √x)] | ausmultiplizieren
= 1 / (x / √x + 1 / √x) | auf einen Nenner schreiben
= 1 : ((x + 1) / √x)) | Kehrwert bilden
= √x / (x + 1)
Schreib dir das zur Not ins Heft, damit du richtige Bruchstriche siehst.
Alles klar?
Eigentlich zieht es sich jetzt ganz schön in die Länge. Ich muss auch noch weg. Aber jetzt bekommst du als letzte Vorbereitung noch die Vorstellung der Substitution. Die eigentliche Integration werde ich dann wohl heute Nacht aufschreiben.
√x ist mit u zu substituieren. Was jetzt kommt, musst du bei der späteren Integration immer vorrätig haben. Vielleicht solltest du es ausdrucken, weil ich mich mehrfach darauf beziehen muss. Also:
u = √x = x^(1/2)
Ableitung du/dx = (1/2) * x^(-1/2) = 1 / (2√x) | *dx
du = dx / (2 √x) und auch
dx = 2 * √x * du oder
dx = 2 * u * du ...................... Alles wird gebraucht.
Für die Resubstitution ist nachher: u² = x
---
Das Nächste ist dann die eigentliche Integration.
Frag also, wenn noch was unklar ist.
Ich bin nur noch wenige Minuten hier.
[ Habe versehentlich auf die Enter-Taste gedrückt. Es geht aber weiter.]
= ∫ ((u * 2u) / (u² + 1)) du ...... | zusammenfassen
= ∫ ((2 u²) / (u² + 1)) du .......... | 2 vor das Integral bringen
= 2 ∫ (u² / u² + 1)) du .............. | Bruch mit Polynomdivision spalten
= 2 ∫ (1 - 1/(u²+1)) du ........... | zwei Integrale daraus machen
= 2 ∫ 1 du - 2 ∫ (1 / (u²+1)) du | beide integrieren
= 2 u - 2 arc tan (u) + C .......... | Resubstitution u² = x; u = √x
= 2 √x - 2 arc tan √x + C
= 2 (√x - arc tan √x) + C
Meinst du dieses Integral: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F(sqrt(x)%2B1%2Fsqrt(x))? Dann würde ich dir empfehlen den Integranden mit √x zu erweitern und dann √x zu substituieren. Dann sieht das Integral schon mal etwas machbarer aus, aber es braucht noch ein paar Kniffe, ich möchte nicht gleich am Anfang alle verraten - vielleicht reicht der Tipp ja schon!
was ist denn daran so besonders; da steht doch immer dx daneben; also 1/... dx ; das kann man natürlich auch auf den Bruchstrich setzen.
Eine solch Funktion mit dx in der Funktion drin habe ich bisher noch nicht gehabt.
Mir war das mit den zwei Bruchstrichen unheimlich. Deshalb wollte ich es ganz genau wissen.
Hm habe versucht, es so genau wie möglich zu machen. ∫(dx)/(√x+(1 /(√x))). Hoffe, es wird jetzt klarer